Номер 96, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

96. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. На стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = \varphi$, $AD = m$. Найдите сторону $BC$.

Для нахождения стороны $BC$ мы найдем длины отрезков $BD$ и $DC$ по отдельности, а затем сложим их. Для этого будем использовать теорему синусов.

1. Найдем длину отрезка BD

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, в нем известны сторона $AD = m$ и два угла: $\angle B = \beta$ и $\angle ADB = \phi$. Третий угол, $\angle BAD$, можно найти из свойства суммы углов треугольника:

$\angle BAD = 180^\circ - \angle B - \angle ADB = 180^\circ - \beta - \phi$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения:

$\frac{BD}{\sin(180^\circ - (\beta + \phi))} = \frac{m}{\sin(\beta)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{BD}{\sin(\beta + \phi)} = \frac{m}{\sin(\beta)}$

Отсюда выразим $BD$:

$BD = \frac{m \sin(\beta + \phi)}{\sin(\beta)}$

2. Найдем длину отрезка DC

Рассмотрим треугольник $ACD$. Найдем его углы.

Угол $\angle C$ (или $\angle ACB$) найдем из суммы углов основного треугольника $ABC$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \alpha - \beta$.

Угол $\angle ADC$ является смежным с углом $\angle ADB$, следовательно:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - \phi$.

Теперь по теореме синусов для треугольника $ACD$:

$\frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle C)}$

Угол $\angle CAD$ можно найти как разность $\angle A - \angle BAD$, но удобнее использовать тот факт, что угол $\angle ADB = \phi$ является внешним для треугольника $ACD$. По свойству внешнего угла треугольника:

$\angle ADB = \angle C + \angle CAD$

$\phi = (180^\circ - \alpha - \beta) + \angle CAD$

$\angle CAD = \phi - (180^\circ - \alpha - \beta) = \alpha + \beta + \phi - 180^\circ$.

Подставим найденные углы в теорему синусов для $\triangle ACD$:

$\frac{DC}{\sin(\alpha + \beta + \phi - 180^\circ)} = \frac{m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулы приведения $\sin(x - 180^\circ) = -\sin x$ и $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получим:

$\frac{DC}{-\sin(\alpha + \beta + \phi)} = \frac{m}{\sin(\alpha + \beta)}$

$DC = -\frac{m \sin(\alpha + \beta + \phi)}{\sin(\alpha + \beta)}$

3. Найдем сторону BC

Сторона $BC = BD + DC$. Сложим полученные выражения:

$BC = \frac{m \sin(\beta + \phi)}{\sin(\beta)} - \frac{m \sin(\alpha + \beta + \phi)}{\sin(\alpha + \beta)}$

Вынесем $m$ за скобки и приведем к общему знаменателю:

$BC = m \frac{\sin(\beta + \phi)\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta + \phi)\sin(\beta)}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$

Упростим числитель дроби. Используем формулу синуса суммы для $\sin(\alpha + \beta + \phi) = \sin((\alpha + \beta) + \phi) = \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi) + \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)$:

Числитель = $\sin(\beta + \phi)\sin(\alpha + \beta) - (\sin(\alpha + \beta)\cos(\phi) + \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi))\sin(\beta)$

Раскроем скобки:

= $\sin(\beta + \phi)\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi)\sin(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

Теперь раскроем $\sin(\beta + \phi) = \sin(\beta)\cos(\phi) + \cos(\beta)\sin(\phi)$:

= $(\sin(\beta)\cos(\phi) + \cos(\beta)\sin(\phi))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi)\sin(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

= $\sin(\beta)\cos(\phi)\sin(\alpha + \beta) + \cos(\beta)\sin(\phi)\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + \beta)\cos(\phi)\sin(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

Первый и третий члены взаимно уничтожаются. Остается:

= $\cos(\beta)\sin(\phi)\sin(\alpha + \beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\phi)\sin(\beta)$

Вынесем $\sin(\phi)$ за скобки:

= $\sin(\phi)[\sin(\alpha + \beta)\cos(\beta) - \cos(\alpha + \beta)\sin(\beta)]$

Выражение в квадратных скобках является формулой синуса разности $\sin(X - Y)$, где $X = \alpha + \beta$ и $Y = \beta$.

= $\sin(\phi)\sin((\alpha + \beta) - \beta) = \sin(\phi)\sin(\alpha)$

Подставим упрощенный числитель обратно в формулу для $BC$:

$BC = m \frac{\sin(\alpha)\sin(\phi)}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $BC = \frac{m \sin(\alpha) \sin(\phi)}{\sin(\beta) \sin(\alpha + \beta)}$.