Номер 94, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

94. Используя данные рисунка 21, найдите отрезок AC, если $BD = m$, $\angle ABC = \alpha$, $\angle ADC = \beta$.

Рис. 20

Рис. 21

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, изображенных на рисунке 21: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У обоих треугольников катет $AC$ является общим, а угол при вершине $C$ — прямой ($\angle ACB = \angle ACD = 90^\circ$).

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ по определению котангенса острого угла:

$\cot(\angle ABC) = \frac{BC}{AC}$

По условию $\angle ABC = \alpha$. Следовательно:

$\cot(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Выразим из этого равенства катет $BC$:

$BC = AC \cdot \cot(\alpha)$

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ по определению котангенса острого угла:

$\cot(\angle ADC) = \frac{CD}{AC}$

По условию $\angle ADC = \beta$. Следовательно:

$\cot(\beta) = \frac{CD}{AC}$

Выразим из этого равенства катет $CD$:

$CD = AC \cdot \cot(\beta)$

3. Из рисунка видно, что длина отрезка $CD$ равна сумме длин отрезков $CB$ и $BD$:

$CD = CB + BD$

По условию задачи $BD = m$. Подставим в это равенство выражения для $CD$ и $CB$, полученные в шагах 1 и 2:

$AC \cdot \cot(\beta) = AC \cdot \cot(\alpha) + m$

4. Решим полученное уравнение относительно $AC$. Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие $AC$, в левой части уравнения:

$AC \cdot \cot(\beta) - AC \cdot \cot(\alpha) = m$

Вынесем $AC$ за скобки:

$AC (\cot(\beta) - \cot(\alpha)) = m$

Наконец, разделим обе части на выражение в скобках, чтобы найти $AC$:

$AC = \frac{m}{\cot(\beta) - \cot(\alpha)}$

Ответ: $AC = \frac{m}{\cot(\beta) - \cot(\alpha)}$