Номер 93, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

93. Используя данные рисунка 20, найдите отрезок AD, если $CD = a$, $\angle BAC = \gamma$, $\angle DBA = \beta$.

Рис. 20

Для решения задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках, которые видны на рисунке: $ \triangle ABC $ и $ \triangle BCD $. Угол $ \angle C $ у них общий и равен $ 90^\circ $.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $.Из него мы можем выразить катет $ BC $ через другой катет $ AC $ и угол $ \gamma $:

$ \tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} \implies \tan(\gamma) = \frac{BC}{AC} $

Поскольку $ AC = AD + CD $ и $ CD = a $, то $ AC = AD + a $.Тогда выражение для $ BC $ принимает вид:

$ BC = AC \cdot \tan(\gamma) = (AD + a) \tan(\gamma) $ (1)

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle BCD $.Для того чтобы связать его стороны, найдем один из его острых углов. Найдем $ \angle DBC $.В прямоугольном треугольнике $ \triangle ABC $ сумма острых углов равна $ 90^\circ $, поэтому:

$ \angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - \gamma $

Угол $ \angle ABC $ состоит из двух углов: $ \angle DBA $ и $ \angle DBC $.

$ \angle ABC = \angle DBA + \angle DBC $

Отсюда можем выразить $ \angle DBC $:

$ \angle DBC = \angle ABC - \angle DBA = (90^\circ - \gamma) - \beta = 90^\circ - (\gamma + \beta) $

Теперь, используя тангенс угла $ \angle DBC $ в треугольнике $ \triangle BCD $, выразим катет $ BC $:

$ \tan(\angle DBC) = \frac{CD}{BC} \implies \tan(90^\circ - (\gamma + \beta)) = \frac{a}{BC} $

Применим формулу приведения $ \tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha) $:

$ \cot(\gamma + \beta) = \frac{a}{BC} $

Выразим отсюда $ BC $:

$ BC = \frac{a}{\cot(\gamma + \beta)} = a \tan(\gamma + \beta) $ (2)

3. Мы получили два выражения для катета $ BC $. Приравняем их правые части:

$ (AD + a) \tan(\gamma) = a \tan(\gamma + \beta) $

4. Решим полученное уравнение относительно $ AD $:

$ AD \cdot \tan(\gamma) + a \cdot \tan(\gamma) = a \tan(\gamma + \beta) $

$ AD \cdot \tan(\gamma) = a \tan(\gamma + \beta) - a \tan(\gamma) $

$ AD \cdot \tan(\gamma) = a (\tan(\gamma + \beta) - \tan(\gamma)) $

$ AD = a \frac{\tan(\gamma + \beta) - \tan(\gamma)}{\tan(\gamma)} $

5. Упростим полученное выражение. Преобразуем числитель дроби, используя формулу для синуса разности углов:

$ \tan(\gamma + \beta) - \tan(\gamma) = \frac{\sin(\gamma + \beta)}{\cos(\gamma + \beta)} - \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{\sin(\gamma + \beta)\cos(\gamma) - \cos(\gamma + \beta)\sin(\gamma)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} = \frac{\sin((\gamma + \beta) - \gamma)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} $

Подставим это выражение обратно в формулу для $ AD $:

$ AD = a \frac{\frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)}}{\tan(\gamma)} = a \frac{\frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)}}{\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}} $

Разделив дроби и сократив $ \cos(\gamma) $, получим окончательный ответ:

$ AD = a \frac{\sin(\beta)}{\cos(\gamma + \beta)\cos(\gamma)} \cdot \frac{\cos(\gamma)}{\sin(\gamma)} = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\gamma)\cos(\gamma + \beta)} $

Ответ: $ \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\gamma)\cos(\gamma + \beta)} $