Номер 100, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

100. Сторона треугольника равна 24 см, а радиус описанной окружности – $8\sqrt{3}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего данной стороне, воспользуемся расширенной теоремой синусов. Она связывает сторону треугольника, синус противолежащего угла и радиус описанной окружности следующей формулой:

$ \frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R $

где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне, а $R$ — радиус описанной окружности.

Из этой формулы выразим $\sin(\alpha)$:

$ \sin(\alpha) = \frac{a}{2R} $

Подставим в формулу данные из условия задачи: $a = 24$ см и $R = 8\sqrt{3}$ см.

$ \sin(\alpha) = \frac{24}{2 \cdot 8\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} $

Сократим дробь на 8:

$ \sin(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$ \sin(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Уравнение $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ (поскольку угол треугольника не может быть больше $180^\circ$) имеет два решения:

$\alpha_1 = 60^\circ$

$\alpha_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Оба этих значения могут быть углами треугольника, поэтому задача имеет два возможных решения.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.