Номер 105, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

105. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота – 8 см.

Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD = 21$ см, $BC = 9$ см, а высота трапеции $h = 8$ см. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя любыми вершинами трапеции, например, треугольника $ABD$.

Радиус $R$ описанной окружности треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$ вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника $ABD$, необходимо найти длины его сторон $AB$ и $BD$, а также его площадь. Сторона $AD$ известна и равна $21$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований:$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$:$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем диагональ $BD$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Длина катета $HD$ равна $AD - AH = 21 - 6 = 15$ см. По теореме Пифагора:$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Площадь треугольника $ABD$ равна половине произведения его основания $AD$ на высоту $BH$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$ см².

Теперь, имея все необходимые данные, можем вычислить радиус описанной окружности:$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4S_{ABD}} = \frac{10 \cdot 21 \cdot 17}{4 \cdot 84}$.Упростим выражение:$R = \frac{10 \cdot 21 \cdot 17}{336} = \frac{3570}{336} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Ответ: $10,625$ см.