Номер 109, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

109. Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников $AHB, BHC, AHC$ и $ABC$, равны.

Пусть $R_{ABC}$, $R_{AHB}$, $R_{BHC}$ и $R_{AHC}$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC$, $AHB$, $BHC$ и $AHC$ соответственно. Мы докажем, что каждый из радиусов $R_{AHB}$, $R_{BHC}$ и $R_{AHC}$ равен $R_{ABC}$.

Для доказательства воспользуемся обобщенной теоремой синусов, согласно которой для любого треугольника со стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$ радиус описанной окружности $R$ равен $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Точка $H$ — их точка пересечения (ортоцентр).

1. Докажем, что $R_{AHB} = R_{ABC}$

Для треугольника $ABC$ по теореме синусов имеем:

$R_{ABC} = \frac{AB}{2\sin(\angle C)}$

Теперь рассмотрим треугольник $AHB$. Его стороны — $AH$, $BH$ и $AB$. Угол, противолежащий стороне $AB$, — это $\angle AHB$. По теореме синусов для треугольника $AHB$:

$R_{AHB} = \frac{AB}{2\sin(\angle AHB)}$

Чтобы сравнить $R_{ABC}$ и $R_{AHB}$, найдем величину угла $\angle AHB$. В прямоугольном треугольнике $ABA_1$ угол $\angle BAA_1 = 90^\circ - \angle B$. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ угол $\angle ABB_1 = 90^\circ - \angle A$.

Сумма углов в треугольнике $AHB$ равна $180^\circ$:

$\angle AHB = 180^\circ - \angle HAB - \angle HBA = 180^\circ - (90^\circ - \angle B) - (90^\circ - \angle A) = 180^\circ - 180^\circ + \angle A + \angle B = \angle A + \angle B$

Так как сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Следовательно, $\angle AHB = 180^\circ - \angle C$.

Поскольку $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем, что $\sin(\angle AHB) = \sin(180^\circ - \angle C) = \sin(\angle C)$.

Подставим это в формулу для $R_{AHB}$:

$R_{AHB} = \frac{AB}{2\sin(\angle C)}$

Таким образом, мы видим, что $R_{AHB} = R_{ABC}$.

2. Докажем, что $R_{BHC} = R_{ABC}$

Аналогично, для треугольника $ABC$ имеем:

$R_{ABC} = \frac{BC}{2\sin(\angle A)}$

Для треугольника $BHC$ по теореме синусов:

$R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle BHC)}$

Найдем угол $\angle BHC$. В треугольнике $BHC$:

$\angle HBC = \angle A_1BC = 90^\circ - \angle C$

$\angle HCB = \angle B_1CB = 90^\circ - \angle B$

$\angle BHC = 180^\circ - \angle HBC - \angle HCB = 180^\circ - (90^\circ - \angle C) - (90^\circ - \angle B) = \angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.

Тогда $\sin(\angle BHC) = \sin(180^\circ - \angle A) = \sin(\angle A)$.

Подставляя в формулу для радиуса, получаем:

$R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle A)}$

Следовательно, $R_{BHC} = R_{ABC}$.

3. Докажем, что $R_{AHC} = R_{ABC}$

Для треугольника $ABC$ имеем:

$R_{ABC} = \frac{AC}{2\sin(\angle B)}$

Для треугольника $AHC$ по теореме синусов:

$R_{AHC} = \frac{AC}{2\sin(\angle AHC)}$

Найдем угол $\angle AHC$. В треугольнике $AHC$:

$\angle HAC = \angle C_1AC = 90^\circ - \angle C$

$\angle HCA = \angle A_1CA = 90^\circ - \angle A$

$\angle AHC = 180^\circ - \angle HAC - \angle HCA = 180^\circ - (90^\circ - \angle C) - (90^\circ - \angle A) = \angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B$.

Тогда $\sin(\angle AHC) = \sin(180^\circ - \angle B) = \sin(\angle B)$.

Подставляя в формулу для радиуса, получаем:

$R_{AHC} = \frac{AC}{2\sin(\angle B)}$

Следовательно, $R_{AHC} = R_{ABC}$.

Таким образом, мы доказали, что $R_{AHB} = R_{BHC} = R_{AHC} = R_{ABC}$.

Ответ: Утверждение доказано. Радиусы окружностей, описанных около треугольников $AHB$, $BHC$, $AHC$ и $ABC$, равны. Что и требовалось доказать.