Номер 114, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

114. На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$, а на стороне $CD$ – точку $M$ так, что $AK : KB = 1 : 2$, $DM : MC = 3 : 1$. Найдите сторону квадрата, если $MK = 13$ см.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$ см.

По условию, на стороне $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KB = 1 : 2$. Это означает, что вся сторона $AB$ разделена на $1+2=3$ части. Длина стороны $AB$ равна $a$. Тогда длина отрезка $AK$ составляет одну из трех частей, то есть:

$AK = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3}a$

Аналогично, на стороне $CD$ отмечена точка $M$ так, что $DM : MC = 3 : 1$. Вся сторона $CD$ разделена на $3+1=4$ части. Длина стороны $CD$ также равна $a$. Тогда длина отрезка $DM$ составляет три из четырех частей, то есть:

$DM = \frac{3}{4} CD = \frac{3}{4}a$

Чтобы найти сторону квадрата, воспользуемся длиной отрезка $MK = 13$ см. Для этого построим прямоугольный треугольник. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KH$ к стороне $CD$. Точка $H$ будет лежать на стороне $CD$.

В получившемся прямоугольном треугольнике $KHM$ ($\angle KHM = 90^\circ$):

1. Гипотенуза $MK$ по условию равна 13 см.

2. Катет $KH$ равен расстоянию между параллельными сторонами $AB$ и $CD$, то есть равен стороне квадрата: $KH = a$.

3. Катет $HM$ можно найти как разность длин отрезков на прямой $CD$. Так как $KH \perp CD$ и $AK \perp AD$, то четырехугольник $AKHD$ является прямоугольником. Следовательно, $DH = AK = \frac{1}{3}a$. Длина отрезка $HM$ будет равна модулю разности длин $DM$ и $DH$:

$HM = |DM - DH| = |\frac{3}{4}a - \frac{1}{3}a|$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$HM = |\frac{9a}{12} - \frac{4a}{12}| = |\frac{5a}{12}| = \frac{5a}{12}$ (так как длина стороны $a$ положительна).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $KHM$: $MK^2 = KH^2 + HM^2$.

Подставим известные значения:

$13^2 = a^2 + (\frac{5a}{12})^2$

$169 = a^2 + \frac{25a^2}{144}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$169 = \frac{144a^2}{144} + \frac{25a^2}{144}$

$169 = \frac{144a^2 + 25a^2}{144}$

$169 = \frac{169a^2}{144}$

Разделим обе части уравнения на 169:

$1 = \frac{a^2}{144}$

Отсюда находим $a^2$:

$a^2 = 144$

Так как длина стороны $a$ — положительная величина, извлекаем квадратный корень:

$a = \sqrt{144} = 12$

Таким образом, сторона квадрата равна 12 см.

Ответ: 12 см.