Номер 117, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

117. Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) $b = 9$ см, $\alpha = 35^\circ$, $\gamma = 70^\circ$;

2) $c = 14$ см, $\beta = 132^\circ$, $\gamma = 24^\circ$.

Чтобы решить треугольник, нужно найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае нам известны сторона $b = 9$ см, угол $\alpha = 35^\circ$ и угол $\gamma = 70^\circ$. Нам нужно найти угол $\beta$ и стороны $a$ и $c$.

1. Найдем неизвестный угол $\beta$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

$\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (35^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

2. Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем найти две другие стороны с помощью теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Выразим и найдем сторону $a$:

$a = \frac{b \cdot \sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.5736}{0.9659} \approx 5.34$ см.

Выразим и найдем сторону $c$:

$c = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.9397}{0.9659} \approx 8.76$ см.

Округлим полученные значения до десятых.
Ответ: $\beta = 75^\circ$, $a \approx 5.3$ см, $c \approx 8.8$ см.

В данном случае нам известны сторона $c = 14$ см, угол $\beta = 132^\circ$ и угол $\gamma = 24^\circ$. Нам нужно найти угол $\alpha$ и стороны $a$ и $b$.

1. Найдем неизвестный угол $\alpha$, исходя из того, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) = 180^\circ - (132^\circ + 24^\circ) = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$.

2. Мы видим, что $\alpha = \gamma = 24^\circ$. Это означает, что треугольник является равнобедренным, а стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $a = c$.

$a = 14$ см.

3. Для нахождения стороны $b$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Выразим и найдем сторону $b$:

$b = \frac{c \cdot \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{14 \cdot \sin 132^\circ}{\sin 24^\circ}$.

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем $\sin 132^\circ = \sin(180^\circ - 48^\circ) = \sin 48^\circ$.

$b = \frac{14 \cdot \sin 48^\circ}{\sin 24^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.7431}{0.4067} \approx 25.58$ см.

Округлим полученное значение до десятых.
Ответ: $\alpha = 24^\circ$, $a = 14$ см, $b \approx 25.6$ см.