Номер 118, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

118. Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:

1) $b = 18 \text{ см}$, $c = 22 \text{ см}$, $\alpha = 76^\circ$;

2) $a = 20 \text{ см}$, $b = 15 \text{ см}$, $\gamma = 104^\circ$.

1) Дано: $b = 18$ см, $c = 22$ см, $\alpha = 76°$.

Решить треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. В данном случае нам нужно найти сторону $a$ и углы $\beta$ и $\gamma$.

Шаг 1: Находим сторону $a$ по теореме косинусов.

Теорема косинусов для стороны $a$ имеет вид: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Подставляем известные значения в формулу:

$a^2 = 18^2 + 22^2 - 2 \cdot 18 \cdot 22 \cdot \cos 76°$

$a^2 = 324 + 484 - 792 \cdot \cos 76°$

Используя калькулятор, находим значение косинуса: $\cos 76° \approx 0.2419$.

$a^2 \approx 808 - 792 \cdot 0.2419$

$a^2 \approx 808 - 191.5848 = 616.4152$

Теперь извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны $a$:

$a = \sqrt{616.4152} \approx 24.83$ см.

Шаг 2: Находим угол $\beta$ по теореме синусов.

Теорема синусов гласит: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.

Из соотношения $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$ выражаем $\sin \beta$:

$\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a}$

Подставляем известные и найденные значения (используя значение $\sin 76° \approx 0.9703$):

$\sin \beta \approx \frac{18 \cdot 0.9703}{24.83} \approx \frac{17.4654}{24.83} \approx 0.7034$

Находим угол $\beta$, беря арксинус от полученного значения:

$\beta = \arcsin(0.7034) \approx 44.7°$.

Шаг 3: Находим угол $\gamma$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$, следовательно:

$\gamma = 180° - \alpha - \beta$

$\gamma \approx 180° - 76° - 44.7° = 59.3°$.

Ответ: $a \approx 24.83$ см, $\beta \approx 44.7°$, $\gamma \approx 59.3°$.

2) Дано: $a = 20$ см, $b = 15$ см, $\gamma = 104°$.

Здесь нам нужно найти неизвестную сторону $c$ и углы $\alpha$ и $\beta$.

Шаг 1: Находим сторону $c$ по теореме косинусов.

Применяем теорему косинусов для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Подставляем известные данные:

$c^2 = 20^2 + 15^2 - 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos 104°$

$c^2 = 400 + 225 - 600 \cdot \cos 104°$

Угол $104°$ является тупым, поэтому его косинус будет отрицательным: $\cos 104° \approx -0.2419$.

$c^2 \approx 625 - 600 \cdot (-0.2419) = 625 + 145.14 = 770.14$

Находим длину стороны $c$:

$c = \sqrt{770.14} \approx 27.75$ см.

Шаг 2: Находим угол $\beta$ по теореме синусов.

Используем теорему синусов $\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta}$ и выражаем $\sin \beta$:

$\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \gamma}{c}$

Подставляем значения (используя $\sin 104° = \sin(180°-76°) = \sin 76° \approx 0.9703$):

$\sin \beta \approx \frac{15 \cdot 0.9703}{27.75} \approx \frac{14.5545}{27.75} \approx 0.5245$

Находим угол $\beta$:

$\beta = \arcsin(0.5245) \approx 31.6°$.

Шаг 3: Находим угол $\alpha$.

Зная два угла, третий находим из условия, что их сумма равна $180°$:

$\alpha = 180° - \gamma - \beta$

$\alpha \approx 180° - 104° - 31.6° = 44.4°$.

Ответ: $c \approx 27.75$ см, $\alpha \approx 44.4°$, $\beta \approx 31.6°$.