Номер 119, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

119. Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:

1) $a = 8 \text{ см}$, $c = 6 \text{ см}$, $\beta = 15^\circ$;

2) $b = 7 \text{ см}$, $c = 5 \text{ см}$, $\alpha = 145^\circ$.

1) a = 8 см, c = 6 см, β = 15°

Решение этой задачи состоит в нахождении неизвестной стороны $b$ и двух неизвестных углов $\alpha$ и $\gamma$.

Шаг 1: Нахождение стороны b по теореме косинусов.
Теорема косинусов гласит: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$.
Подставим известные значения: $b^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(15°)$
$b^2 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos(15°)$
$b^2 = 100 - 96 \cdot \cos(15°)$
Используем значение $\cos(15°) \approx 0.9659$:
$b^2 \approx 100 - 96 \cdot 0.9659 = 100 - 92.7264 = 7.2736$
$b = \sqrt{7.2736} \approx 2.70$ см.

Шаг 2: Нахождение угла по теореме синусов.
Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти один из оставшихся углов. Найдем угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$.
$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
$\sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{b}$
Подставим известные и найденные значения, используя $\sin(15°) \approx 0.2588$:
$\sin(\gamma) \approx \frac{6 \cdot 0.2588}{2.70} \approx \frac{1.5528}{2.70} \approx 0.5751$
$\gamma = \arcsin(0.5751) \approx 35.11°$.

Шаг 3: Нахождение третьего угла.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$.
$\alpha = 180° - \beta - \gamma$
$\alpha \approx 180° - 15° - 35.11° = 129.89°$.

Ответ: $b \approx 2.70$ см, $\alpha \approx 129.89°$, $\gamma \approx 35.11°$.

2) b = 7 см, c = 5 см, α = 145°

Здесь нам нужно найти неизвестную сторону $a$ и два неизвестных угла $\beta$ и $\gamma$.

Шаг 1: Нахождение стороны a по теореме косинусов.
Теорема косинусов для стороны $a$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$.
Подставим известные значения: $a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(145°)$
$a^2 = 49 + 25 - 70 \cdot \cos(145°)$
$a^2 = 74 - 70 \cdot \cos(145°)$
Используем значение $\cos(145°) \approx -0.8192$:
$a^2 \approx 74 - 70 \cdot (-0.8192) = 74 + 57.344 = 131.344$
$a = \sqrt{131.344} \approx 11.46$ см.

Шаг 2: Нахождение угла по теореме синусов.
Используем теорему синусов, чтобы найти угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$.
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
$\sin(\gamma) = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{a}$
Подставим известные и найденные значения, используя $\sin(145°) \approx 0.5736$:
$\sin(\gamma) \approx \frac{5 \cdot 0.5736}{11.46} \approx \frac{2.868}{11.46} \approx 0.2503$
$\gamma = \arcsin(0.2503) \approx 14.49°$.
Поскольку угол $\alpha = 145°$ тупой, остальные углы треугольника должны быть острыми, поэтому у $\gamma$ только одно возможное значение.

Шаг 3: Нахождение третьего угла.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$.
$\beta = 180° - \alpha - \gamma$
$\beta \approx 180° - 145° - 14.49° = 20.51°$.

Ответ: $a \approx 11.46$ см, $\beta \approx 20.51°$, $\gamma \approx 14.49°$.