Номер 126, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

126. Диагональ $AC$ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 8 см, $\angle CAD = 38^{\circ}$, $\angle BAD = 72^{\circ}$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Дано: равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC \parallel AD$. Диагональ $AC = 8$ см, $\angle CAD = 38^\circ$, $\angle BAD = 72^\circ$.

1) стороны трапеции

Сначала найдем углы, необходимые для расчетов. Угол $\angle BAC$ можно найти как разность данных углов:

$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 72^\circ - 38^\circ = 34^\circ$.

Так как $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD = 38^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Зная два его угла, найдем третий:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (34^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Трапеция $ABCD$ равнобокая, поэтому ее боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при большем основании равны ($\angle CDA = \angle BAD = 72^\circ$).

Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$ для нахождения сторон $AB$ и $BC$:

$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

$\frac{AB}{\sin(38^\circ)} = \frac{BC}{\sin(34^\circ)} = \frac{8}{\sin(108^\circ)}$

Из этого соотношения находим боковую сторону $AB$ (и равную ей $CD$):

$AB = CD = \frac{8 \cdot \sin(38^\circ)}{\sin(108^\circ)} = \frac{8 \cdot \sin(38^\circ)}{\sin(180^\circ - 72^\circ)} = \frac{8 \cdot \sin(38^\circ)}{\sin(72^\circ)}$ см.

Находим меньшее основание $BC$:

$BC = \frac{8 \cdot \sin(34^\circ)}{\sin(108^\circ)} = \frac{8 \cdot \sin(34^\circ)}{\sin(72^\circ)}$ см.

Для нахождения большего основания $AD$ рассмотрим треугольник $ACD$. Найдем в нем угол $\angle ACD$:

$\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle CDA) = 180^\circ - (38^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ACD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle CDA)}$

$\frac{AD}{\sin(70^\circ)} = \frac{8}{\sin(72^\circ)}$

Отсюда находим большее основание $AD$:

$AD = \frac{8 \cdot \sin(70^\circ)}{\sin(72^\circ)}$ см.

Ответ: $AB = CD = \frac{8 \sin 38^\circ}{\sin 72^\circ}$ см, $BC = \frac{8 \sin 34^\circ}{\sin 72^\circ}$ см, $AD = \frac{8 \sin 70^\circ}{\sin 72^\circ}$ см.

2) радиус окружности, описанной около треугольника ABC

Радиус $R$ описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле, следующей из теоремы синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Для треугольника $ABC$ используем сторону $AC$ и противолежащий ей угол $\angle ABC$.

$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)}$

Подставим известные значения $AC = 8$ см и $\angle ABC = 108^\circ$:

$R = \frac{8}{2 \sin(108^\circ)} = \frac{4}{\sin(108^\circ)}$ см.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(108^\circ) = \sin(180^\circ - 72^\circ) = \sin(72^\circ)$.

Таким образом, радиус равен:

$R = \frac{4}{\sin(72^\circ)}$ см.

Ответ: $R = \frac{4}{\sin 72^\circ}$ см.