Номер 1, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как можно найти площадь треугольника, если известны две его сто-роны и угол между ними?

1. Площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними, можно найти по тригонометрической формуле. Эта формула выводится из стандартной формулы площади через основание и высоту.

Рассмотрим треугольник, у которого известны стороны $a$ и $b$, а также угол $\gamma$ между ними.

Общая формула для площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

Примем сторону $a$ за основание треугольника. Тогда нам нужно найти высоту $h$, проведенную к стороне $a$ (или ее продолжению). Эта высота будет являться катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является сторона $b$, а один из острых углов равен $\gamma$ (или $180^\circ - \gamma$, если $\gamma$ — тупой, но $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$).

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(\gamma) = \frac{h}{b}$

Отсюда выражаем высоту $h$: $h = b \cdot \sin(\gamma)$

Теперь подставим полученное выражение для высоты $h$ в основную формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} a (b \sin(\gamma))$

В итоге получаем формулу для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Если даны стороны $a$ и $b$ и угол $\gamma$ между ними, то площадь $S$ находится по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$.