Страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как можно найти площадь треугольника, если известны две его сто-роны и угол между ними?

1. Площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними, можно найти по тригонометрической формуле. Эта формула выводится из стандартной формулы площади через основание и высоту.

Рассмотрим треугольник, у которого известны стороны $a$ и $b$, а также угол $\gamma$ между ними.

Общая формула для площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

Примем сторону $a$ за основание треугольника. Тогда нам нужно найти высоту $h$, проведенную к стороне $a$ (или ее продолжению). Эта высота будет являться катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является сторона $b$, а один из острых углов равен $\gamma$ (или $180^\circ - \gamma$, если $\gamma$ — тупой, но $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$).

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(\gamma) = \frac{h}{b}$

Отсюда выражаем высоту $h$: $h = b \cdot \sin(\gamma)$

Теперь подставим полученное выражение для высоты $h$ в основную формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} a (b \sin(\gamma))$

В итоге получаем формулу для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Если даны стороны $a$ и $b$ и угол $\gamma$ между ними, то площадь $S$ находится по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$.

2. Запишите формулу Герона для вычисления площади треугольника.

Формула Герона позволяет вычислить площадь произвольного треугольника по известным длинам трех его сторон. Для применения формулы сначала необходимо рассчитать полупериметр треугольника.

Пусть даны стороны треугольника $a$, $b$, и $c$.

1. Сначала вычисляем полупериметр $p$ треугольника, который равен половине суммы длин всех его сторон:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

2. Затем площадь треугольника $S$ вычисляется по самой формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Таким образом, зная только длины сторон, можно найти площадь любого треугольника, для которого выполняется неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон больше третьей стороны).

Ответ: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$, а $a, b, c$ — длины сторон треугольника.

3. Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус описанной окружности?

Для нахождения площади треугольника, зная длины трех его сторон ($a, b, c$) и радиус описанной окружности ($R$), можно использовать формулу, которая связывает все эти величины.

Вывод этой формулы основан на двух известных теоремах геометрии:

1. Площадь треугольника ($S$) можно выразить через произведение двух его сторон и синус угла между ними. Например, для сторон $a$ и $b$ и угла $\gamma$ между ними:

   $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$

2. Согласно следствию из теоремы синусов, отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$):

   $\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Из второго соотношения выразим синус угла $\gamma$:

$\sin \gamma = \frac{c}{2R}$

Теперь подставим это выражение для $\sin \gamma$ в формулу площади из первого пункта:

$S = \frac{1}{2}ab \left(\frac{c}{2R}\right)$

Упростив это выражение, мы получаем искомую формулу:

$S = \frac{abc}{4R}$

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника, нужно перемножить длины всех трех его сторон и разделить полученное произведение на учетверенный радиус описанной окружности.

Стоит отметить, что для вычисления площади по этой формуле знание всех трех сторон и радиуса является избыточным, так как радиус описанной окружности можно однозначно определить, зная только три стороны. Однако если все эти данные уже известны, данный способ является наиболее прямым.

Ответ: Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле $S = \frac{abc}{4R}$, где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $R$ – радиус описанной окружности.

4. Как можно найти радиус окружности, описанной около треугольника, если известны его стороны и площадь треугольника?

$R = \frac{abc}{4S}$

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, используется формула, которая связывает радиус этой окружности ($R$), длины сторон треугольника ($a$, $b$, $c$) и его площадь ($S$).

Исходная формула для площади треугольника через радиус описанной окружности выглядит так: $S = \frac{abc}{4R}$

Чтобы найти радиус $R$, нужно выразить его из этой формулы. Для этого мы можем поменять местами $S$ и $R$: $R = \frac{abc}{4S}$

Следовательно, для вычисления радиуса описанной окружности необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти произведение длин всех трех сторон треугольника ($a \cdot b \cdot c$).
2. Найти учетверенную площадь треугольника ($4 \cdot S$).
3. Разделить результат первого действия на результат второго.

Ответ: Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь.

5. Как можно найти площадь треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле:

$S = pr$

где $p$ — полупериметр треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы, связывающей её с полупериметром и радиусом вписанной окружности. Выведем эту формулу.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$. Пусть $O$ — центр вписанной в него окружности, а $r$ — радиус этой окружности.

Соединим центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника $A, B, C$. Это разделит исходный треугольник $ABC$ на три треугольника: $AOB$, $BOC$ и $COA$. Площадь треугольника $ABC$ будет равна сумме площадей этих трех треугольников:
$S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

Известно, что радиус, проведенный в точку касания окружности и стороны треугольника, перпендикулярен этой стороне. Следовательно, радиус $r$ является высотой для каждого из трех малых треугольников, опущенной из вершины $O$ на соответствующую сторону треугольника $ABC$.

Площадь каждого из этих треугольников вычисляется как половина произведения основания на высоту:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$
$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$
$S_{COA} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

Теперь сложим площади этих треугольников, чтобы найти общую площадь $S$ треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:
$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

Выражение в скобках $(a+b+c)$ является периметром треугольника. Полупериметр $p$ по определению равен половине периметра:
$p = \frac{a+b+c}{2}$

Из этого следует, что $a+b+c = 2p$. Подставим это значение в нашу формулу для площади:
$S = \frac{1}{2}r \cdot (2p) = p \cdot r$

Таким образом, мы получили искомую формулу.

Ответ: Площадь треугольника ($S$) можно найти как произведение его полупериметра ($p$) на радиус вписанной окружности ($r$). Формула для вычисления: $S = p \cdot r$.

6. Как можно найти радиус окружности, вписанной в треугольник, если известны площадь треугольника и его стороны?

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти, используя формулу, которая связывает площадь треугольника ($S$), его полупериметр ($p$) и радиус вписанной окружности ($r$).

Площадь треугольника выражается через радиус вписанной окружности и полупериметр следующим образом:

$S = p \cdot r$

В данной формуле:

• $S$ — площадь треугольника (известна по условию).
• $r$ — радиус вписанной окружности (то, что нужно найти).
• $p$ — полупериметр треугольника.

Полупериметр $p$ можно вычислить, зная стороны треугольника $a, b, c$ (которые также известны по условию). Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

Чтобы найти радиус $r$, нужно выразить его из основной формулы. Для этого разделим обе части уравнения $S = p \cdot r$ на полупериметр $p$:

$r = \frac{S}{p}$

Таким образом, для нахождения радиуса вписанной окружности необходимо:

1. Вычислить полупериметр треугольника, сложив длины его сторон и разделив результат на 2.
2. Разделить известную площадь треугольника на вычисленный полупериметр.

Ответ: Радиус вписанной в треугольник окружности $r$ вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр ($p = \frac{a+b+c}{2}$).

7. Чему равна площадь многоугольника, описанного около окружности?

Площадь многоугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле, связывающей его периметр и радиус вписанной окружности.

Для вывода этой формулы, соединим центр вписанной окружности $O$ со всеми вершинами многоугольника. В результате многоугольник разобьется на треугольники, количество которых равно количеству сторон многоугольника. Пусть стороны многоугольника равны $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его основанием является одна из сторон многоугольника (например, $a_i$), а высотой, проведенной из вершины $O$ к этому основанию, является радиус вписанной окружности $r$. Это следует из того, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (которой в данном случае является сторона многоугольника).

Площадь одного такого треугольника ($S_i$) равна половине произведения его основания на высоту:

$S_i = \frac{1}{2} a_i r$

Общая площадь многоугольника $S$ равна сумме площадей всех этих треугольников:

$S = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \frac{1}{2} a_1 r + \frac{1}{2} a_2 r + \dots + \frac{1}{2} a_n r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r (a_1 + a_2 + \dots + a_n)$

Сумма длин всех сторон $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ есть не что иное, как периметр многоугольника $P$. Следовательно, формула принимает вид:

$S = \frac{1}{2} P \cdot r$

Если ввести понятие полупериметра $p = \frac{P}{2}$, то формула станет еще более компактной:

$S = p \cdot r$

Таким образом, площадь любого многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Формула: $S = p \cdot r$, где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр многоугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

132. Найдите площадь треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 12$ см, $AC = 9$ см, $\angle A = 30^\circ$;

2) $AC = 3$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^\circ$.

1)

Площадь треугольника можно найти по формуле: площадь равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

В данном случае нам известны стороны $AB = 12$ см, $AC = 9$ см и угол между ними $\angle A = 30^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \sin(30^\circ)$

Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27$ (см$^2$).

Ответ: 27 см$^2$.

2)

Используем ту же формулу для нахождения площади треугольника.

Нам даны стороны $AC = 3$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle C = 135^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)$

Найдем значение синуса $135^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим все значения в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{18 \cdot 2}{4} = \frac{36}{4} = 9$ (см$^2$).

Ответ: 9 см$^2$.