Страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

151. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, площадь которого равна $36 \text{ см}^2$, а угол при вершине – $30^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Обозначим боковую сторону как $x$. Тогда $a = x$ и $b = x$. Угол между боковыми сторонами – это угол при вершине, который по условию равен $30^\circ$, то есть $\gamma = 30^\circ$. Площадь треугольника $S$ равна $36 \text{ см}^2$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$36 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin(30^\circ)$

$36 = \frac{1}{2}x^2\sin(30^\circ)$

Значение синуса $30^\circ$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$:

$36 = \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{2}$

$36 = \frac{x^2}{4}$

Теперь выразим $x^2$:

$x^2 = 36 \cdot 4$

$x^2 = 144$

Чтобы найти длину боковой стороны $x$, извлечем квадратный корень из 144:

$x = \sqrt{144}$

$x = 12$

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 12 см.

Ответ: 12 см.

152. Какой треугольник с двумя данными сторонами имеет наибольшую площадь?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника через две стороны и угол между ними.

Пусть нам даны две стороны треугольника, их длины обозначим как $a$ и $b$. Пусть $\gamma$ — это угол, который находится между этими двумя сторонами.

Формула площади $S$ такого треугольника имеет вид:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

По условию задачи, длины сторон $a$ и $b$ являются фиксированными величинами. Это означает, что произведение $\frac{1}{2}ab$ является постоянным. Таким образом, площадь треугольника $S$ прямо пропорциональна значению $\sin(\gamma)$. Чтобы площадь $S$ была наибольшей, значение $\sin(\gamma)$ должно быть максимальным.

Угол $\gamma$ в любом треугольнике должен удовлетворять условию $0° < \gamma < 180°$. В этом интервале значений функция синуса $\sin(\gamma)$ принимает свое наибольшее значение, которое равно 1. Это максимальное значение достигается, когда угол $\gamma = 90°$.

Следовательно, для того чтобы площадь треугольника была максимальной, угол между данными сторонами $a$ и $b$ должен быть прямым.

Треугольник, в котором угол между двумя сторонами равен $90°$, называется прямоугольным треугольником. Данные стороны $a$ и $b$ в этом случае являются его катетами.

Ответ: Наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник, у которого данные стороны являются катетами.

Площадь:

153. Может ли площадь треугольника со сторонами 4 см и 6 см быть равной: 1) 6 $\text{см}^2$; 2) 14 $\text{см}^2$; 3) 12 $\text{см}^2$?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними. Пусть нам даны стороны $a = 4$ см и $b = 6$ см, а $\gamma$ — угол между этими сторонами. Тогда площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Подставим в формулу известные длины сторон:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin\gamma = 12\sin\gamma$

Угол в треугольнике может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$, поэтому синус этого угла $\sin\gamma$ может принимать значения в диапазоне от 0 до 1 ($0 < \sin\gamma \le 1$).

Площадь треугольника будет максимальной, когда $\sin\gamma$ будет максимальным, то есть $\sin\gamma = 1$. Это соответствует углу $\gamma = 90^\circ$.

Максимально возможная площадь для треугольника с данными сторонами составляет:

$S_{max} = 12 \cdot 1 = 12$ см$^2$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) 6 см²

Проверим, может ли площадь треугольника быть равной 6 см². Для этого подставим это значение в нашу формулу для площади:

$6 = 12\sin\gamma$

Отсюда найдем значение $\sin\gamma$:

$\sin\gamma = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Поскольку $0 < \frac{1}{2} \le 1$, то такое значение синуса возможно (например, для угла $\gamma = 30^\circ$). Следовательно, площадь треугольника может быть равной 6 см².

Ответ: да, может.

2) 14 см²

Сравним это значение с максимально возможной площадью:

$14 \text{ см}^2 > S_{max} = 12 \text{ см}^2$

Так как 14 см² больше максимально возможной площади для треугольника со сторонами 4 см и 6 см, то такая площадь невозможна.

Ответ: нет, не может.

3) 12 см²

Проверим, может ли площадь быть равной 12 см².

$12 = 12\sin\gamma$

$\sin\gamma = \frac{12}{12} = 1$

Это значение синуса достигается, когда угол $\gamma$ между сторонами равен $90^\circ$. Такой треугольник является прямоугольным, и его площадь равна половине произведения катетов. Следовательно, площадь может быть равна 12 см².

Ответ: да, может.

154. Две соседние стороны параллелограмма соответственно равны двум соседним сторонам прямоугольника. Чему равен острый угол параллелограмма, если его площадь в два раза меньше площади прямоугольника?

Пусть $a$ и $b$ — длины соседних сторон параллелограмма. По условию, это также длины соседних сторон прямоугольника.

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется по формуле:
$S_{пр} = a \cdot b$

Площадь параллелограмма ($S_{п}$) вычисляется по формуле:
$S_{п} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
где $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, площадь параллелограмма в два раза меньше площади прямоугольника:
$S_{п} = \frac{1}{2} S_{пр}$

Подставим формулы площадей в это равенство:
$a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (a \cdot b)$

Так как $a$ и $b$ — это длины сторон, они не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $a \cdot b$:
$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Значение синуса равно $\frac{1}{2}$ для двух углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$: $30^\circ$ и $150^\circ$. Поскольку в вопросе требуется найти острый угол параллелограмма, выбираем меньшее значение.
$\alpha = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$

155. 1) Найдите отношение площадей $S_1$ и $S_2$ треугольников, изображённых на рисунке 36 (длины отрезков даны в сантиметрах).

2) Площади треугольников ABC и $A_1B_1C_1$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$. Известно, что углы при вершинах A и $A_1$ равны. Докажите, что $ \frac{S_1}{S_2} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} $.

Рис. 36

а

б

в

1)

а) На рисунке изображен треугольник, который разделен биссектрисой (обозначена дугой с черточкой) на два меньших треугольника с площадями $S_1$ и $S_2$. Эти два треугольника имеют общую высоту, проведенную из вершины, из которой исходит биссектриса. Отношение их площадей равно отношению длин их оснований. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Длины прилежащих сторон равны 3 и 1. Таким образом, отношение оснований треугольников $S_1$ и $S_2$ равно отношению этих сторон.
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: 3.

б) Треугольники с площадями $S_1$ и $S_2$ имеют равные вертикальные углы. Отношение площадей треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений длин сторон, заключающих этот угол. Стороны треугольника $S_1$, прилежащие к общему углу, равны 2 и $x$ (длина стороны, отмеченной одной черточкой). Стороны треугольника $S_2$, прилежащие к тому же углу, равны 4 и $x$ (поскольку соответствующая сторона отмечена так же).
Следовательно: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2 \cdot x}{4 \cdot x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Аналогично пункту б), треугольники $S_1$ и $S_2$ имеют равные вертикальные углы. Стороны треугольника $S_1$, прилежащие к этому углу, равны 4 и 1. Стороны треугольника $S_2$, прилежащие к этому углу, равны 2 и 5.
Следовательно: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

2)

Для доказательства воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.
Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S_1$, а площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна $S_2$. По условию, углы при вершинах $A$ и $A_1$ равны. Обозначим меру этого угла как $\alpha$, то есть $\angle A = \angle A_1 = \alpha$.
Площадь треугольника $ABC$ ($S_1$) выражается как:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\alpha$.
Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ ($S_2$) выражается как:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1) = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin\alpha$.
Теперь найдем отношение площадей $S_1$ и $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin\alpha}$.
Поскольку $\alpha$ является углом треугольника, $\sin\alpha \neq 0$. Сократив общие множители $\frac{1}{2}$ и $\sin\alpha$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение, что $\frac{S_1}{S_2} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$, доказано.

156. Отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Площадь треугольника $ABD$ равна $12 \text{ см}^2$, а треугольника $ACD$ – $20 \text{ см}^2$. Найдите отношение стороны $AB$ к стороне $AC$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника, которая выражается через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$.

Поскольку отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABC$, он делит угол $BAC$ на два равных угла. Обозначим эти углы как $\alpha$. То есть, $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$.

Теперь запишем формулы для площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, используя сторону $AD$ и стороны $AB$ и $AC$ соответственно:

Площадь треугольника $ABD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

Площадь треугольника $ACD$:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\alpha)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\alpha)}$

В этом выражении общие множители $\frac{1}{2}$, $AD$ и $\sin(\alpha)$ сокращаются. В результате получаем:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}$

Нам известны значения площадей: $S_{ABD} = 12$ см² и $S_{ACD} = 20$ см². Подставим эти значения в полученное соотношение:

$\frac{AB}{AC} = \frac{12}{20}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{12}{20} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

Таким образом, отношение стороны $AB$ к стороне $AC$ равно $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

157. Найдите площадь треугольника, сторона которого равна $a$, а прилежащие к ней углы равны $\beta$ и $\gamma$.

Для решения задачи воспользуемся известными данными: стороной треугольника $a$ и двумя прилежащими к ней углами $\beta$ и $\gamma$. Площадь треугольника можно найти, зная две стороны и угол между ними. Мы можем найти вторую сторону, используя теорему синусов.

1. Сначала найдем третий угол треугольника, который лежит напротив известной стороны $a$. Обозначим его $\alpha$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому: $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$

2. Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ где $b$ — сторона, противолежащая углу $\beta$, а $c$ — сторона, противолежащая углу $\gamma$. Выразим одну из сторон, например $c$, через известные величины: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$ $c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha}$

3. Подставим в это выражение найденный угол $\alpha$: $c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))}$ Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем: $c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin(\beta + \gamma)}$

4. Теперь у нас есть две стороны ($a$ и $c$) и угол между ними ($\beta$). Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} a c \sin \beta$ Подставим в эту формулу полученное выражение для стороны $c$: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a \sin \gamma}{\sin(\beta + \gamma)}\right) \cdot \sin \beta$

5. Упростив выражение, получим окончательную формулу для площади треугольника: $S = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin(\beta + \gamma)}$

Ответ: $S = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin(\beta + \gamma)}$

158. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен $R$, а два угла треугольника равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник, у которого радиус описанной окружности равен $R$, а два угла равны $\alpha$ и $\beta$. Обозначим третий угол треугольника как $\gamma$, а стороны, противолежащие углам $\alpha, \beta, \gamma$ как $a, b, c$ соответственно.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, третий угол $\gamma$ можно найти по формуле:
$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Для нахождения площади треугольника $S$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и угол между ними:
$S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Чтобы найти длины сторон $a$ и $b$, применим обобщенную теорему синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности $R$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

Из этой теоремы выразим стороны $a$ и $b$:
$a = 2R \sin \alpha$
$b = 2R \sin \beta$

Теперь подставим полученные выражения для сторон $a$, $b$ и угла $\gamma$ в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} (2R \sin \alpha) (2R \sin \beta) \sin(180^\circ - (\alpha + \beta))$.

Упростим это выражение. Воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Применив ее, получим:
$\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$.

Подставляем это обратно в выражение для площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)$.

Сократив, получаем окончательную формулу для площади треугольника:
$S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)$.

Ответ: $S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)$.

159. В треугольнике ABC $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}xy\sin(\gamma)$, где $x, y$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае известна сторона $AC = b$ и прилежащий к ней угол $\angle A = \alpha$. Возьмем также сторону $AB$ (обозначим ее как $c$). Тогда угол между сторонами $AC$ и $AB$ — это $\angle A = \alpha$, и формула для площади примет вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2}bc\sin(\alpha)$

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо найти длину стороны $c = AB$. Мы можем сделать это с помощью теоремы синусов, но для этого сначала нужно найти третий угол треугольника, $\angle C$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Теперь применим теорему синусов:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные нам обозначения:

$\frac{c}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{c}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Отсюда выразим сторону $c$:

$c = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}$

Теперь, когда мы нашли выражение для стороны $c$, подставим его в нашу формулу для площади:

$S = \frac{1}{2}b \cdot \left(\frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}\right) \cdot \sin(\alpha)$

Упростив это выражение, получаем окончательную формулу для площади треугольника:

$S = \frac{b^2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}{2\sin(\beta)}$

Ответ: $S = \frac{b^2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}{2\sin(\beta)}$

160. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $\alpha$, а высоты $BD$ и $CE$ равны соответственно $h_1$ и $h_2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Пусть $S$ - искомая площадь треугольника $ABC$. Обозначим длины сторон, прилежащих к углу $A$, как $AB = c$ и $AC = b$.

Высота $BD = h_1$ проведена из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AC$. Следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Гипотенузой этого треугольника является сторона $AB = c$. Угол при вершине $A$ в этом треугольнике ($\angle DAB$) равен $\alpha$ (если $\angle A$ в $\triangle ABC$ острый) или $180^\circ - \alpha$ (если $\angle A$ тупой). Катет, противолежащий этому углу, - это высота $BD = h_1$.
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(\angle DAB) = \frac{BD}{AB}$.
Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, в обоих случаях (для острого и тупого угла $A$) соотношение будет одинаковым:
$\sin \alpha = \frac{h_1}{c}$
Отсюда выразим сторону $c$:
$c = \frac{h_1}{\sin \alpha}$

Аналогично, высота $CE = h_2$ проведена из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$. Треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$. Гипотенуза - сторона $AC = b$. Катет, противолежащий углу при вершине $A$ ($\angle CAE$), - это высота $CE = h_2$.
$\sin(\angle CAE) = \frac{CE}{AC}$
Это приводит к соотношению:
$\sin \alpha = \frac{h_2}{b}$
Отсюда выразим сторону $b$:
$b = \frac{h_2}{\sin \alpha}$

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле с использованием двух сторон и угла между ними:
$S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} b c \sin \alpha$.

Подставим в эту формулу найденные выражения для сторон $b$ и $c$:
$S = \frac{1}{2} \left( \frac{h_2}{\sin \alpha} \right) \left( \frac{h_1}{\sin \alpha} \right) \sin \alpha$.

После сокращения и упрощения получаем:
$S = \frac{1}{2} \frac{h_1 h_2}{\sin^2 \alpha} \sin \alpha = \frac{h_1 h_2}{2 \sin \alpha}$.

Ответ: $S = \frac{h_1 h_2}{2 \sin \alpha}$

161. Отрезок $BM$ – высота треугольника $ABC$, $BM = h$, $\angle A = \alpha$, $\angle ABC = \beta$.

Найдите площадь треугольника $ABC$.

Площадь треугольника $ABC$ ($S$) можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основанием является сторона $AC$, а высотой — отрезок $BM=h$. Таким образом, $S = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} AC \cdot h$. Чтобы найти площадь, нам необходимо выразить длину основания $AC$ через известные параметры $h$, $\alpha$ и $\beta$.

Другой способ найти площадь треугольника — использовать формулу с двумя сторонами и углом между ними: $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$. По условию $\angle ABC = \beta$, значит, $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin\beta$. Выразим стороны $AB$ и $BC$ через известные данные.

Высота $BM$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABM$ (с прямым углом $M$) и $\triangle CBM$ (с прямым углом $M$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. В нем известен катет $BM=h$ и противолежащий ему угол $\angle A = \alpha$. Гипотенуза $AB$ находится из соотношения:$\sin\alpha = \frac{BM}{AB} = \frac{h}{AB}$Отсюда получаем:$AB = \frac{h}{\sin\alpha}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $C$:$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle ABC) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Далее, в прямоугольном треугольнике $CBM$ известен катет $BM=h$ и угол $\angle C$. Гипотенуза $BC$ находится из соотношения:$\sin C = \frac{BM}{BC} \implies \sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \frac{h}{BC}$Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:$\sin(\alpha + \beta) = \frac{h}{BC}$Отсюда:$BC = \frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}$

Подставим найденные выражения для сторон $AB$ и $BC$ в формулу площади:$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{h}{\sin\alpha}\right) \cdot \left(\frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}\right) \cdot \sin\beta$

После упрощения получаем окончательный ответ:$S = \frac{h^2 \sin\beta}{2 \sin\alpha \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{h^2 \sin\beta}{2 \sin\alpha \sin(\alpha + \beta)}$.

162. В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 28 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади образовавшихся треугольников.

Пусть стороны треугольника равны $a = 17$ см, $b = 25$ см и $c = 28$ см. Центр вписанной окружности (инцентр) соединен с вершинами треугольника, в результате чего исходный треугольник разбивается на три меньших треугольника. Основаниями этих трех треугольников являются стороны исходного треугольника ($a$, $b$ и $c$), а их общая высота равна радиусу вписанной окружности $r$, так как инцентр равноудален от всех сторон.

Площадь каждого из образовавшихся треугольников можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h$. В нашем случае $h=r$. Таким образом, нам необходимо найти радиус вписанной окружности $r$.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{S_{общ}}{p}$, где $S_{общ}$ — площадь исходного треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь исходного треугольника по формуле Герона.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+25+28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

Теперь найдем площадь $S_{общ}$:

$S_{общ} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S_{общ} = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7}$

$S_{общ} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 = 210$ см².

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$.

$r = \frac{S_{общ}}{p} = \frac{210}{35} = 6$ см.

3. Найдем площади трех образовавшихся треугольников.

Теперь, зная радиус $r=6$ см, мы можем найти площади каждого из трех треугольников.

Площадь треугольника с основанием 17 см

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = 17 \cdot 3 = 51$ см².

Ответ: 51 см².

Площадь треугольника с основанием 25 см

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = 25 \cdot 3 = 75$ см².

Ответ: 75 см².

Площадь треугольника с основанием 28 см

$S_3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = 28 \cdot 3 = 84$ см².

Ответ: 84 см².