Номер 161, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

161. Отрезок $BM$ – высота треугольника $ABC$, $BM = h$, $\angle A = \alpha$, $\angle ABC = \beta$.

Найдите площадь треугольника $ABC$.

Площадь треугольника $ABC$ ($S$) можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основанием является сторона $AC$, а высотой — отрезок $BM=h$. Таким образом, $S = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} AC \cdot h$. Чтобы найти площадь, нам необходимо выразить длину основания $AC$ через известные параметры $h$, $\alpha$ и $\beta$.

Другой способ найти площадь треугольника — использовать формулу с двумя сторонами и углом между ними: $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$. По условию $\angle ABC = \beta$, значит, $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin\beta$. Выразим стороны $AB$ и $BC$ через известные данные.

Высота $BM$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABM$ (с прямым углом $M$) и $\triangle CBM$ (с прямым углом $M$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. В нем известен катет $BM=h$ и противолежащий ему угол $\angle A = \alpha$. Гипотенуза $AB$ находится из соотношения:$\sin\alpha = \frac{BM}{AB} = \frac{h}{AB}$Отсюда получаем:$AB = \frac{h}{\sin\alpha}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $C$:$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle ABC) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Далее, в прямоугольном треугольнике $CBM$ известен катет $BM=h$ и угол $\angle C$. Гипотенуза $BC$ находится из соотношения:$\sin C = \frac{BM}{BC} \implies \sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \frac{h}{BC}$Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:$\sin(\alpha + \beta) = \frac{h}{BC}$Отсюда:$BC = \frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}$

Подставим найденные выражения для сторон $AB$ и $BC$ в формулу площади:$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{h}{\sin\alpha}\right) \cdot \left(\frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}\right) \cdot \sin\beta$

После упрощения получаем окончательный ответ:$S = \frac{h^2 \sin\beta}{2 \sin\alpha \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{h^2 \sin\beta}{2 \sin\alpha \sin(\alpha + \beta)}$.