Номер 167, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

167. Стороны треугольника равны 39 см, 41 см и 50 см. Найдите радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a=39$ см, $b=41$ см и $c=50$ см. По условию, центр $O$ искомой окружности принадлежит большей стороне, то есть стороне $c=AB=50$ см. Также окружность касается двух других сторон, $AC$ ($b=41$ см) и $BC$ ($a=39$ см).

Если точка (центр окружности $O$) равноудалена от двух пересекающихся прямых (сторон $AC$ и $BC$), то она лежит на биссектрисе угла, образованного этими прямыми. В данном случае, центр $O$ лежит на биссектрисе угла $C$.

Радиус окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на касательную сторону. Таким образом, $r$ является высотой для треугольников $AOC$ (к стороне $AC$) и $BOC$ (к стороне $BC$).

Площадь всего треугольника $ABC$ можно представить как сумму площадей треугольников $AOC$ и $BOC$: $S_{ABC} = S_{AOC} + S_{BOC}$

Выразим площади этих треугольников через радиус $r$: $S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot r$ $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot r$

Тогда площадь всего треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot r = \frac{1}{2} r (41 + 39) = \frac{1}{2} r \cdot 80 = 40r$ Отсюда мы можем выразить радиус: $r = \frac{S_{ABC}}{40}$

Для нахождения радиуса $r$ необходимо вычислить площадь треугольника $ABC$. Поскольку известны все три стороны, воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{39+41+50}{2} = \frac{130}{2} = 65$ см.

Теперь вычислим площадь $S_{ABC}$ по формуле Герона: $S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S_{ABC} = \sqrt{65(65-39)(65-41)(65-50)} = \sqrt{65 \cdot 26 \cdot 24 \cdot 15}$

Разложим подкоренное выражение на простые множители для удобства вычисления: $S_{ABC} = \sqrt{(5 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 13) \cdot (2^3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 13^2}$ $S_{ABC} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 15 \cdot 13 = 60 \cdot 13 = 780$ см².

Теперь, зная площадь, можем найти радиус $r$: $r = \frac{S_{ABC}}{40} = \frac{780}{40} = \frac{78}{4} = 19.5$ см.

Ответ: 19,5 см.