Номер 162, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

162. В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 28 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади образовавшихся треугольников.

Пусть стороны треугольника равны $a = 17$ см, $b = 25$ см и $c = 28$ см. Центр вписанной окружности (инцентр) соединен с вершинами треугольника, в результате чего исходный треугольник разбивается на три меньших треугольника. Основаниями этих трех треугольников являются стороны исходного треугольника ($a$, $b$ и $c$), а их общая высота равна радиусу вписанной окружности $r$, так как инцентр равноудален от всех сторон.

Площадь каждого из образовавшихся треугольников можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h$. В нашем случае $h=r$. Таким образом, нам необходимо найти радиус вписанной окружности $r$.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{S_{общ}}{p}$, где $S_{общ}$ — площадь исходного треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь исходного треугольника по формуле Герона.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+25+28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

Теперь найдем площадь $S_{общ}$:

$S_{общ} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S_{общ} = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7}$

$S_{общ} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 = 210$ см².

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$.

$r = \frac{S_{общ}}{p} = \frac{210}{35} = 6$ см.

3. Найдем площади трех образовавшихся треугольников.

Теперь, зная радиус $r=6$ см, мы можем найти площади каждого из трех треугольников.

Площадь треугольника с основанием 17 см

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = 17 \cdot 3 = 51$ см².

Ответ: 51 см².

Площадь треугольника с основанием 25 см

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = 25 \cdot 3 = 75$ см².

Ответ: 75 см².

Площадь треугольника с основанием 28 см

$S_3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = 28 \cdot 3 = 84$ см².

Ответ: 84 см².