Номер 155, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

155. 1) Найдите отношение площадей $S_1$ и $S_2$ треугольников, изображённых на рисунке 36 (длины отрезков даны в сантиметрах).

2) Площади треугольников ABC и $A_1B_1C_1$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$. Известно, что углы при вершинах A и $A_1$ равны. Докажите, что $ \frac{S_1}{S_2} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} $.

Рис. 36

а

б

в

1)

а) На рисунке изображен треугольник, который разделен биссектрисой (обозначена дугой с черточкой) на два меньших треугольника с площадями $S_1$ и $S_2$. Эти два треугольника имеют общую высоту, проведенную из вершины, из которой исходит биссектриса. Отношение их площадей равно отношению длин их оснований. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Длины прилежащих сторон равны 3 и 1. Таким образом, отношение оснований треугольников $S_1$ и $S_2$ равно отношению этих сторон.
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: 3.

б) Треугольники с площадями $S_1$ и $S_2$ имеют равные вертикальные углы. Отношение площадей треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений длин сторон, заключающих этот угол. Стороны треугольника $S_1$, прилежащие к общему углу, равны 2 и $x$ (длина стороны, отмеченной одной черточкой). Стороны треугольника $S_2$, прилежащие к тому же углу, равны 4 и $x$ (поскольку соответствующая сторона отмечена так же).
Следовательно: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2 \cdot x}{4 \cdot x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Аналогично пункту б), треугольники $S_1$ и $S_2$ имеют равные вертикальные углы. Стороны треугольника $S_1$, прилежащие к этому углу, равны 4 и 1. Стороны треугольника $S_2$, прилежащие к этому углу, равны 2 и 5.
Следовательно: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

2)

Для доказательства воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.
Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S_1$, а площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна $S_2$. По условию, углы при вершинах $A$ и $A_1$ равны. Обозначим меру этого угла как $\alpha$, то есть $\angle A = \angle A_1 = \alpha$.
Площадь треугольника $ABC$ ($S_1$) выражается как:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\alpha$.
Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ ($S_2$) выражается как:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1) = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin\alpha$.
Теперь найдем отношение площадей $S_1$ и $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin\alpha}$.
Поскольку $\alpha$ является углом треугольника, $\sin\alpha \neq 0$. Сократив общие множители $\frac{1}{2}$ и $\sin\alpha$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение, что $\frac{S_1}{S_2} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$, доказано.