Номер 156, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

156. Отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Площадь треугольника $ABD$ равна $12 \text{ см}^2$, а треугольника $ACD$ – $20 \text{ см}^2$. Найдите отношение стороны $AB$ к стороне $AC$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника, которая выражается через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$.

Поскольку отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$ в треугольнике $ABC$, он делит угол $BAC$ на два равных угла. Обозначим эти углы как $\alpha$. То есть, $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$.

Теперь запишем формулы для площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, используя сторону $AD$ и стороны $AB$ и $AC$ соответственно:

Площадь треугольника $ABD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

Площадь треугольника $ACD$:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\alpha)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\alpha)}$

В этом выражении общие множители $\frac{1}{2}$, $AD$ и $\sin(\alpha)$ сокращаются. В результате получаем:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}$

Нам известны значения площадей: $S_{ABD} = 12$ см² и $S_{ACD} = 20$ см². Подставим эти значения в полученное соотношение:

$\frac{AB}{AC} = \frac{12}{20}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{12}{20} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

Таким образом, отношение стороны $AB$ к стороне $AC$ равно $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.