Номер 163, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

163. Отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$, $AB = 6$ см, $AC = 8$ см, $\angle BAC = 120^\circ$. Найдите биссектрису $AD$.

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ADC$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1. Запишем формулу площади для треугольника $ABC$ через стороны $AB$ и $AC$ и угол $\angle BAC$ между ними:$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$Подставим известные значения: $AB = 6$ см, $AC = 8$ см, $\angle BAC = 120^{\circ}$.$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(120^{\circ}) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, она делит его на два равных угла:$\angle BAD = \angle CAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

3. Обозначим искомую длину биссектрисы $AD$ через $l$. Теперь выразим площади треугольников $ABD$ и $ADC$:$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot l \cdot \sin(60^{\circ}) = 3l\frac{\sqrt{3}}{2}$.$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot l \cdot \sin(60^{\circ}) = 4l\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Составим уравнение, исходя из того, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух малых:$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ADC}$$12\sqrt{3} = 3l\frac{\sqrt{3}}{2} + 4l\frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Решим уравнение относительно $l$:$12\sqrt{3} = (3l + 4l)\frac{\sqrt{3}}{2}$$12\sqrt{3} = 7l\frac{\sqrt{3}}{2}$Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:$12 = \frac{7l}{2}$Умножим обе части на 2:$24 = 7l$$l = \frac{24}{7}$ см.

Ответ: $\frac{24}{7}$ см.