Номер 169, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Формулы для нахождения площади треугольника. Глава 1. Решение треугольников - номер 169, страница 41.

Условие.

169. Докажите, что $ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r} $, где $ h_1 $, $ h_2 $ и $ h_3 $ – высоты треугольника, $ r $ – радиус вписанной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства данного равенства воспользуемся двумя различными формулами для вычисления площади треугольника $S$.

Пусть $a, b, c$ – стороны треугольника, а $h_1, h_2, h_3$ – высоты, проведенные к этим сторонам соответственно.

С одной стороны, площадь треугольника можно выразить через длину стороны и высоту, проведенную к этой стороне:
$S = \frac{1}{2} a h_1$
$S = \frac{1}{2} b h_2$
$S = \frac{1}{2} c h_3$

Из этих формул выразим величины, обратные высотам:
$\frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S}$
$\frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S}$
$\frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S}$

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти сумму, стоящую в левой части доказываемого равенства:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a+b+c}{2S}$

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и его полупериметр $p$:
$S = p \cdot r$, где полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Из этой формулы выразим величину, обратную радиусу, которая стоит в правой части доказываемого равенства:
$\frac{1}{r} = \frac{p}{S}$

Подставим в это выражение формулу полупериметра:
$\frac{1}{r} = \frac{(a+b+c)/2}{S} = \frac{a+b+c}{2S}$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей исходного равенства, мы видим, что они равны:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a+b+c}{2S}$
$\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$
Следовательно, $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.