Номер 168, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

168. Вершины треугольника соединены с центром вписанной в него окружности. Проведённые отрезки разбивают данный треугольник на треугольники, площади которых равны $26 \text{ см}^2$, $28 \text{ см}^2$ и $30 \text{ см}^2$. Найдите стороны данного треугольника.

Пусть стороны исходного треугольника равны $a, b, c$. Центр вписанной окружности, обозначим его $O$, является точкой пересечения биссектрис и равноудален от всех сторон треугольника. Расстояние от точки $O$ до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности $r$.

Отрезки, соединяющие вершины треугольника с центром $O$, разбивают его на три меньших треугольника. Площади этих треугольников можно вычислить по формуле "половина произведения основания на высоту". В данном случае основаниями являются стороны $a, b, c$ исходного треугольника, а высотой для каждого из них, проведенной из вершины $O$, является радиус вписанной окружности $r$.

Пусть площади этих трех треугольников равны $S_1 = 26 \text{ см}^2$, $S_2 = 28 \text{ см}^2$ и $S_3 = 30 \text{ см}^2$. Тогда мы можем записать:$S_1 = \frac{1}{2} a \cdot r = 26$$S_2 = \frac{1}{2} b \cdot r = 28$$S_3 = \frac{1}{2} c \cdot r = 30$

Из этих соотношений выразим стороны треугольника $a, b, c$ через радиус $r$:$a = \frac{2 \cdot 26}{r} = \frac{52}{r}$$b = \frac{2 \cdot 28}{r} = \frac{56}{r}$$c = \frac{2 \cdot 30}{r} = \frac{60}{r}$

Площадь исходного треугольника $S$ равна сумме площадей трех меньших треугольников:$S = S_1 + S_2 + S_3 = 26 + 28 + 30 = 84 \text{ см}^2$.

Для нахождения сторон нам нужно найти значение $r$. Для этого воспользуемся формулой Герона для площади треугольника: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{52}{r} + \frac{56}{r} + \frac{60}{r} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52+56+60}{r} = \frac{168}{2r} = \frac{84}{r}$.

Теперь найдем выражения для разностей $(p-a), (p-b), (p-c)$:$p-a = \frac{84}{r} - \frac{52}{r} = \frac{32}{r}$$p-b = \frac{84}{r} - \frac{56}{r} = \frac{28}{r}$$p-c = \frac{84}{r} - \frac{60}{r} = \frac{24}{r}$

Подставим все полученные значения в формулу Герона:$S = \sqrt{\frac{84}{r} \cdot \frac{32}{r} \cdot \frac{28}{r} \cdot \frac{24}{r}} = \sqrt{\frac{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}{r^4}}$Так как $S = 84$, получаем уравнение:$84 = \frac{\sqrt{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}}{r^2}$

Решим это уравнение относительно $r^2$:$r^2 = \frac{\sqrt{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}}{84}$Вычислим значение подкоренного выражения:$84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24 = (2^2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2^5) \cdot (2^2 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 3) = 2^{12} \cdot 3^2 \cdot 7^2 = (2^6 \cdot 3 \cdot 7)^2 = 1344^2$.Тогда $\sqrt{1344^2} = 1344$.$r^2 = \frac{1344}{84} = 16$Отсюда, так как радиус должен быть положительным, $r = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь, зная радиус $r$, мы можем найти длины сторон треугольника:$a = \frac{52}{r} = \frac{52}{4} = 13 \text{ см}$$b = \frac{56}{r} = \frac{56}{4} = 14 \text{ см}$$c = \frac{60}{r} = \frac{60}{4} = 15 \text{ см}$

Ответ: стороны данного треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см.