gdz.top
Номер 166, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки: оранжевый, зелёный
ISBN: 978-5-09-104934-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Глава 1. Решение треугольников. Параграф 5. Формулы для нахождения площади треугольника. Упражнения - номер 166, страница 41.
№165
№166 (с. 41)
Условие. №166 (с. 41)
166. Отрезки $BM$ и $CK$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$, $\angle A = 45^\circ$. Найдите отношение площадей треугольников $AMK$ и $ABC$.
Решение 1. №166 (с. 41)
Решение 2. №166 (с. 41)
Решение 4. №166 (с. 41)
Решение 6. №166 (с. 41)
Для нахождения отношения площадей треугольников $AMK$ и $ABC$ воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$.
Площадь треугольника $ABC$ выражается как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.
Площадь треугольника $AMK$ выражается как $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin(\angle A)$.
Найдем отношение их площадей:
$$ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AM \cdot AK}{AB \cdot AC} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AK}{AC} $$По условию, $BM$ и $CK$ — высоты треугольника $ABC$, поэтому $BM \perp AC$ и $CK \perp AB$. Это означает, что треугольники $AMB$ и $AKC$ являются прямоугольными.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$). Катет $AM$ и гипотенуза $AB$ связаны соотношением:
$$ \cos(\angle A) = \frac{AM}{AB} \implies AM = AB \cdot \cos(\angle A) $$Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$ ($\angle AKC = 90^\circ$). Катет $AK$ и гипотенуза $AC$ связаны соотношением:
$$ \cos(\angle A) = \frac{AK}{AC} \implies AK = AC \cdot \cos(\angle A) $$Подставим полученные выражения для $AM$ и $AK$ в формулу для отношения площадей:
$$ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \frac{AB \cdot \cos(\angle A)}{AB} \cdot \frac{AC \cdot \cos(\angle A)}{AC} = \cos(\angle A) \cdot \cos(\angle A) = \cos^2(\angle A) $$Из условия задачи известно, что $\angle A = 45^\circ$. Подставим это значение в полученную формулу:
$$ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \cos^2(45^\circ) $$Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$$ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$Ответ: отношение площадей треугольников $AMK$ и $ABC$ равно $\frac{1}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 9 класс, для упражнения номер 166 расположенного на странице 41 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №166 (с. 41), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.