Номер 165, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

165. Основания трапеции равны 4 см и 5 см, а диагонали – 7 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи имеем: меньшее основание $BC = 4$ см, большее основание $AD = 5$ см, диагонали $AC = 7$ см и $BD = 8$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

В полученном четырехугольнике $BCED$ стороны $BC$ и $DE$ параллельны (как лежащие на параллельных прямых, содержащих основания трапеции), а стороны $BD$ и $CE$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC = 4$ см и $CE = BD = 8$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Длины его сторон равны:
$AC = 7$ см (дано по условию);
$CE = BD = 8$ см (как противоположные стороны параллелограмма);
$AE = AD + DE = 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9$ см.

Площадь трапеции $ABCD$ равна площади полученного треугольника $ACE$. Докажем это. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Площадь треугольника $ACE$ вычисляется как $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} AE \cdot h$. Так как $AE = AD + DE$ и $DE=BC$, то $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot h$. Таким образом, $S_{ABCD} = S_{\triangle ACE}$.

Найдем площадь треугольника $ACE$ со сторонами 7, 8 и 9 см по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.
Вычислим полупериметр треугольника $ACE$:
$p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:
$S_{\triangle ACE} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{(12 \cdot 12) \cdot 5} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см².

Поскольку площадь трапеции равна площади треугольника $ACE$, то искомая площадь трапеции составляет $12\sqrt{5}$ см².

Ответ: $12\sqrt{5}$ см².