Номер 172, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

172. Отрезок $CD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $D$ проведена прямая, которая параллельна прямой $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Найдите отрезок $DE$, если $AC = 16$ см, $BC = 24$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $CD$ — биссектриса угла $C$, и через точку $D$ проведена прямая, параллельная $AC$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Нам даны длины сторон $AC = 16$ см и $BC = 24$ см. Необходимо найти длину отрезка $DE$.

1. Поскольку прямая $DE$ параллельна прямой $AC$ по условию ($DE \parallel AC$), а $CD$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle CDE = \angle ACD$.

2. Так как $CD$ — биссектриса угла $C$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD$. Поскольку точка $E$ лежит на стороне $BC$, то $\angle BCD$ можно также обозначить как $\angle ECD$. Таким образом, $\angle ACD = \angle ECD$.

3. Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, следует, что $\angle CDE = \angle ECD$.

4. Рассмотрим треугольник $CDE$. Так как в нём два угла равны ($\angle CDE = \angle ECD$), то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $DE = CE$.

5. Теперь рассмотрим треугольники $BDE$ и $BAC$. Так как $DE \parallel AC$, то по теореме о подобных треугольниках, треугольник $BDE$ подобен треугольнику $BAC$ ($\triangle BDE \sim \triangle BAC$). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы $\angle BED$ и $\angle BCA$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $BC$.

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$\frac{DE}{AC} = \frac{BE}{BC}$

7. Мы знаем, что $E$ — точка на отрезке $BC$, поэтому $BE = BC - CE$. Подставим это выражение в пропорцию, а также заменим $DE$ на равный ему отрезок $CE$ (из пункта 4):$\frac{CE}{AC} = \frac{BC - CE}{BC}$

8. Подставим известные значения $AC = 16$ и $BC = 24$ в полученное уравнение:$\frac{CE}{16} = \frac{24 - CE}{24}$

9. Решим это уравнение относительно $CE$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$24 \cdot CE = 16 \cdot (24 - CE)$$24 \cdot CE = 384 - 16 \cdot CE$$24 \cdot CE + 16 \cdot CE = 384$$40 \cdot CE = 384$$CE = \frac{384}{40} = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

10. Так как $DE = CE$, то длина отрезка $DE$ также равна 9,6 см.

Ответ: $9.6$ см.