Номер 3, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. В равносторонний треугольник со стороной $a$ вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что отрезок касательной, принадлежащий треугольнику, равен $b$. Найдите площадь треугольника, который эта касательная отсекает от равностороннего треугольника.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. В него вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, отсекая от треугольника $ABC$ треугольник $MNC$. По условию, длина отрезка касательной, принадлежащего треугольнику, равна $b$, то есть $MN = b$. Требуется найти площадь треугольника $MNC$.

Так как треугольник $MNC$ является частью равностороннего треугольника $ABC$, то угол при вершине $C$ у него общий, то есть $\angle MCN = \angle ACB = 60°$.

Площадь треугольника $MNC$ можно найти по формуле:$S_{MNC} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot CN \cdot \sin(\angle MCN) = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot CN \cdot \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{4} CM \cdot CN$.

Чтобы найти произведение $CM \cdot CN$, воспользуемся свойством касательных к вписанной окружности.Периметр отсеченного треугольника $MNC$ равен сумме длин отрезков касательных, проведенных из вершины $C$ к точкам касания вписанной окружности со сторонами $AC$ и $BC$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ точки касания вписанной окружности являются серединами его сторон. Пусть точка касания на стороне $AC$ - это точка $P$, а на стороне $BC$ - точка $Q$. Тогда $CP = \frac{a}{2}$ и $CQ = \frac{a}{2}$.

Периметр треугольника $MNC$ равен:$P_{MNC} = CM + CN + MN$.Согласно свойству, $P_{MNC} = CP + CQ = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$.

Так как нам дано, что $MN = b$, мы можем записать:$CM + CN + b = a$,откуда получаем:$CM + CN = a - b$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $MNC$:$MN^2 = CM^2 + CN^2 - 2 \cdot CM \cdot CN \cdot \cos(60°)$$b^2 = CM^2 + CN^2 - 2 \cdot CM \cdot CN \cdot \frac{1}{2}$$b^2 = CM^2 + CN^2 - CM \cdot CN$.

Преобразуем правую часть, используя известную сумму $CM + CN$:$b^2 = (CM + CN)^2 - 2 \cdot CM \cdot CN - CM \cdot CN$$b^2 = (CM + CN)^2 - 3 \cdot CM \cdot CN$.

Подставим значение $CM + CN = a - b$:$b^2 = (a - b)^2 - 3 \cdot CM \cdot CN$$3 \cdot CM \cdot CN = (a - b)^2 - b^2$$3 \cdot CM \cdot CN = a^2 - 2ab + b^2 - b^2$$3 \cdot CM \cdot CN = a^2 - 2ab = a(a - 2b)$$CM \cdot CN = \frac{a(a - 2b)}{3}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $MNC$:$S_{MNC} = \frac{\sqrt{3}}{4} CM \cdot CN = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a(a - 2b)}{3} = \frac{\sqrt{3}a(a - 2b)}{12}$.

Ответ: $S = \frac{\sqrt{3}a(a - 2b)}{12}$.