Номер 4, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. В четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$, $\angle ADC = 135^\circ$, $\angle BAD = \angle BCD = 60^\circ$. Докажите, что диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

Указание. Докажите, что точка $C$ – центр вневписанной окружности треугольника $ABD$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию задачи, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$, следовательно, $\angle BDA = 90^\circ$. Также дано, что $\angle BAD = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол треугольника $\angle ABD$ равен: $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle BDA = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

2. Найдем угол $\angle BDC$. По условию $\angle ADC = 135^\circ$. Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle BDA$ и $\angle BDC$. $\angle BDC = \angle ADC - \angle BDA = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$.

3. Проверим, является ли луч $DC$ биссектрисой внешнего угла треугольника $ABD$ при вершине $D$. Внешний угол при вершине $D$ смежен с внутренним углом $\angle BDA$. Обозначим его как $\angle BDE$, где $E$ — точка на продолжении стороны $AD$ за точку $D$. Величина внешнего угла $\angle BDE = 180^\circ - \angle BDA = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Чтобы луч $DC$ был биссектрисой, он должен делить этот угол пополам. Найдем угол $\angle CDE$. Он смежен с углом $\angle ADC$. $\angle CDE = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Мы видим, что $\angle BDC = 45^\circ$ и $\angle CDE = 45^\circ$. Так как $\angle BDC = \angle CDE$, луч $DC$ является биссектрисой внешнего угла треугольника $ABD$ при вершине $D$.

4. Найдем угол $\angle CBD$. Сумма углов четырехугольника $ABCD$ равна $360^\circ$. $\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ$. Угол $\angle ABC$ состоит из углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$, то есть $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 30^\circ + \angle CBD$. Подставим известные значения в формулу суммы углов четырехугольника: $60^\circ + (30^\circ + \angle CBD) + 60^\circ + 135^\circ = 360^\circ$. $285^\circ + \angle CBD = 360^\circ$. $\angle CBD = 360^\circ - 285^\circ = 75^\circ$.

5. Проверим, является ли луч $BC$ биссектрисой внешнего угла треугольника $ABD$ при вершине $B$. Внешний угол при вершине $B$ смежен с углом $\angle ABD$ и его величина равна $180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Биссектриса этого угла должна делить его на два угла по $150^\circ / 2 = 75^\circ$. Поскольку мы вычислили, что $\angle CBD = 75^\circ$, луч $BC$ является биссектрисой внешнего угла треугольника $ABD$ при вершине $B$.

6. Точка $C$ является точкой пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника $ABD$ (при вершинах $B$ и $D$). По определению, точка пересечения биссектрис двух внешних углов и одного внутреннего угла треугольника является центром его вневписанной окружности. Таким образом, точка $C$ — это центр вневписанной окружности треугольника $ABD$.

Ответ: Доказано, что точка C является центром вневписанной окружности треугольника ABD.

Как было установлено выше, точка $C$ является центром вневписанной окружности треугольника $ABD$. Этот центр (эксцентр) лежит на пересечении биссектрис двух внешних углов и биссектрисы третьего, не смежного с ними, внутреннего угла.

В нашем случае, точка $C$ является пересечением биссектрис внешних углов при вершинах $B$ и $D$. Следовательно, она также должна лежать на биссектрисе внутреннего угла при третьей вершине треугольника, то есть при вершине $A$.

Это означает, что прямая, соединяющая точку $C$ с вершиной $A$, то есть диагональ $AC$, является биссектрисой угла $\angle BAD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.