Номер 1, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения

1. Докажите, что $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}$, где $r$ – радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

1.

Для доказательства данного тождества воспользуемся известными формулами для площади треугольника, выраженными через радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Пусть $a, b, c$ — длины сторон треугольника $ABC$, $p = \frac{a+b+c}{2}$ — его полупериметр, а $S$ — его площадь.

В принятых обозначениях, $r$ — это радиус вписанной окружности, а $r_a, r_b, r_c$ — это радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $a, b, c$ соответственно.

Формула для площади через радиус вписанной окружности имеет вид: $S = p \cdot r$. Отсюда можно выразить обратную величину радиуса: $\frac{1}{r} = \frac{p}{S}$.

Формулы для площади через радиусы вневписанных окружностей: $S = (p-a) \cdot r_a$, $S = (p-b) \cdot r_b$, $S = (p-c) \cdot r_c$.

Из этих формул выразим обратные величины радиусов вневписанных окружностей: $\frac{1}{r_a} = \frac{p-a}{S}$, $\frac{1}{r_b} = \frac{p-b}{S}$, $\frac{1}{r_c} = \frac{p-c}{S}$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого тождества, подставив в неё полученные выражения: $\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} = \frac{p-a}{S} + \frac{p-b}{S} + \frac{p-c}{S}$.

Приводя дроби к общему знаменателю $S$, получаем: $\frac{(p-a) + (p-b) + (p-c)}{S} = \frac{3p - (a+b+c)}{S}$.

По определению полупериметра, $a+b+c=2p$. Подставим это выражение в числитель: $\frac{3p - 2p}{S} = \frac{p}{S}$.

Таким образом, мы показали, что правая часть тождества равна $\frac{p}{S}$. Ранее мы выяснили, что левая часть, $\frac{1}{r}$, также равна $\frac{p}{S}$.

Следовательно, тождество $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.