Номер 2, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Докажите, что площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = r_c \cdot r$, где $r_c$ – радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы треугольника, $r$ – радиус вписанной окружности данного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

Площадь $S$ этого треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.

Полупериметр треугольника равен $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r$ можно найти по формуле:

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Эта формула следует из свойства отрезков касательных, проведенных из вершин треугольника к вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника отрезки от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны $r$, образуя квадрат. Тогда гипотенуза $c$ равна сумме длин касательных от двух других вершин: $c = (a-r) + (b-r)$, откуда $2r = a+b-c$ и $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Радиус вневписанной окружности $r_c$, касающейся гипотенузы $c$ (и продолжений катетов), связан с площадью $S$ и полупериметром $p$ общей для всех треугольников формулой:

$S = r_c \cdot (p-c)$

Давайте выразим величину $(p-c)$ через стороны треугольника:

$p-c = \frac{a+b+c}{2} - c = \frac{a+b+c-2c}{2} = \frac{a+b-c}{2}$

Сравнивая полученное выражение для $(p-c)$ с формулой для радиуса вписанной окружности $r$, мы обнаруживаем, что для прямоугольного треугольника выполняется уникальное свойство:

$p-c = r$

Теперь подставим это равенство в формулу для площади через радиус вневписанной окружности:

$S = r_c \cdot (p-c)$

$S = r_c \cdot r$

Таким образом, мы доказали, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся гипотенузы.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = r_c \cdot r$, где $r_c$ – радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, а $r$ – радиус вписанной окружности, доказано.