Номер 6, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Сторона квадрата $ABCD$ равна 1 см. На сторонах $AB$ и $BC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно так, что периметр треугольника $MBN$ равен 2 см. Найдите угол $MDN$.

Указание. Докажите, что точка $D$ – центр вневписанной окружности треугольника $MBN$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. По условию, $a=1$ см.Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно.Периметр треугольника $MBN$ равен $P_{MBN} = MB + BN + MN = 2$ см.

Так как $M$ лежит на стороне $AB$, то $MB = AB - AM = 1 - AM$.Так как $N$ лежит на стороне $BC$, то $BN = BC - CN = 1 - CN$.Подставим эти выражения в формулу для периметра:

$(1 - AM) + (1 - CN) + MN = 2$

$2 - AM - CN + MN = 2$

Отсюда мы получаем важное соотношение:

$MN = AM + CN$

Теперь воспользуемся указанием и докажем, что точка $D$ является центром вневписанной окружности треугольника $MBN$. Центр вневписанной окружности, касающейся стороны $MN$ и продолжений сторон $BM$ и $BN$ (то есть лучей $AM$ и $CN$), должен быть равноудален от прямых $AB$, $BC$ и $MN$.

Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно длине перпендикуляра $DA$, то есть $DA = 1$ см.Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ равно длине перпендикуляра $DC$, то есть $DC = 1$ см.Осталось доказать, что расстояние от точки $D$ до прямой $MN$ также равно 1 см.

Для этого рассмотрим поворот плоскости вокруг точки $D$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке.При таком повороте:

• Вершина $A$ переходит в вершину $C$, так как $DA=DC=1$ и $\angle ADC = 90^\circ$.
• Прямая $AB$ переходит в прямую $BC$.
• Точка $M$, лежащая на $AB$, переходит в некоторую точку $K$, лежащую на прямой $BC$.

Поскольку поворот является движением, он сохраняет расстояния и углы. Следовательно, треугольник $DAM$ переходит в равный ему треугольник $DCK$.Из равенства треугольников $\triangle DAM \cong \triangle DCK$ следует, что:

1. $DM = DK$
2. $AM = CK$

Теперь используем выведенное ранее соотношение $MN = AM + CN$. Заменим в нем $AM$ на $CK$:

$MN = CK + CN$

Точки $N$ и $C$ лежат на отрезке $BC$. Точка $K$ лежит на прямой $BC$. Так как $M$ находится на отрезке $AB$, $AM \ge 0$, а значит $CK = AM \ge 0$. Поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке переводит луч $AB$ в луч, исходящий из $C$ в направлении, перпендикулярном $DC$, то есть на продолжение стороны $BC$ за точку $C$. Таким образом, точки на прямой $BC$ расположены в порядке $K-C-N$. Тогда длина отрезка $KN$ равна сумме длин отрезков $CK$ и $CN$:

$KN = CK + CN$

Сравнивая два полученных выражения, заключаем, что $MN = KN$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle DMN$ и $\triangle DKN$:

• $DM = DK$ (из равенства при повороте)
• $DN$ — общая сторона
• $MN = KN$ (как мы только что доказали)

Следовательно, $\triangle DMN \cong \triangle DKN$ по трем сторонам (признак SSS).

Из равенства этих треугольников следует равенство их высот, опущенных из вершины $D$. Высота $\triangle DKN$, опущенная из $D$ на сторону $KN$, лежащую на прямой $BC$, есть не что иное, как расстояние от $D$ до прямой $BC$, которое равно $DC=1$. Значит, и высота $\triangle DMN$, опущенная из $D$ на сторону $MN$, также равна 1.

Таким образом, мы доказали, что точка $D$ равноудалена от трех прямых $AB$, $BC$ и $MN$ (расстояние до каждой равно 1). Это и означает, что $D$ — центр вневписанной окружности треугольника $MBN$.

Теперь найдем угол $MDN$.Из равенства $\triangle DMN \cong \triangle DKN$ следует равенство соответствующих углов: $\angle MDN = \angle KDN$.Угол $\angle KDN$ можно представить как сумму углов: $\angle KDN = \angle KDC + \angle CDN$.Из равенства треугольников $\triangle DAM \cong \triangle DCK$ (полученного при повороте) следует, что $\angle ADM = \angle CDK$.Тогда $\angle KDN = \angle ADM + \angle CDN$.Значит, $\angle MDN = \angle ADM + \angle CDN$.

Угол квадрата $\angle ADC = 90^\circ$. Этот угол состоит из трех углов:$\angle ADC = \angle ADM + \angle MDN + \angle NDC = 90^\circ$.Подставим в это равенство выражение для $\angle MDN$:

$\angle ADM + (\angle ADM + \angle CDN) + \angle CDN = 90^\circ$

$2(\angle ADM + \angle CDN) = 90^\circ$

Так как $\angle MDN = \angle ADM + \angle CDN$, то:

$2 \cdot \angle MDN = 90^\circ$

$\angle MDN = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.