Номер 5, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на 10 см больше другой, равен $60^\circ$, а третья сторона равна 14 см. Какова длина наибольшей стороны треугольника?

А) 16 см

Б) 14 см

В) 18 см

Г) 15 см

Пусть одна из двух сторон треугольника, между которыми лежит угол в 60°, равна $x$ см. По условию, другая сторона на 10 см больше, значит, ее длина составляет $(x + 10)$ см. Третья сторона треугольника равна 14 см.

Для нахождения длин неизвестных сторон применим теорему косинусов, которая гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула выглядит так: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Подставим в формулу наши данные: $c = 14$, $a = x+10$, $b = x$, $\gamma = 60^{\circ}$.

$14^2 = (x + 10)^2 + x^2 - 2 \cdot (x + 10) \cdot x \cdot \cos(60^{\circ})$

Так как $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, подставим это значение в уравнение и упростим его:

$196 = (x^2 + 20x + 100) + x^2 - 2 \cdot (x + 10) \cdot x \cdot \frac{1}{2}$

$196 = x^2 + 20x + 100 + x^2 - (x^2 + 10x)$

$196 = 2x^2 + 20x + 100 - x^2 - 10x$

$196 = x^2 + 10x + 100$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x + 100 - 196 = 0$

$x^2 + 10x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-10 + 22}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-10 - 22}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Длина стороны треугольника не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -16$ не является решением задачи. Следовательно, длина одной стороны равна 6 см.

Длина второй стороны равна $x + 10 = 6 + 10 = 16$ см.

Таким образом, стороны треугольника имеют длины 6 см, 14 см и 16 см.

Наибольшая сторона треугольника имеет длину 16 см, что соответствует варианту А).

Ответ: А) 16 см