Номер 8, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Чему равно отношение $AC : BC$ сторон треугольника $ABC$, если $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 30^\circ$?

А) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Б) $\sqrt{3}$

В) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Г) $\frac{2}{\sqrt{3}}$

Для нахождения отношения сторон треугольника $AC$ и $BC$ воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, а сторона $BC$ — напротив угла $A$. Таким образом, соотношение можно записать в виде:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Чтобы найти искомое отношение $\frac{AC}{BC}$, выразим его из этого уравнения:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)}$

Подставим в формулу заданные значения углов: $\angle A = 120^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$.

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)}$

Теперь необходимо вычислить значения синусов. Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Для нахождения синуса 120 градусов воспользуемся формулой приведения: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим полученные значения в наше отношение:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

При делении дробей "вторая" дробь переворачивается:

$\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Чтобы привести ответ к виду одного из вариантов, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Полученное значение соответствует варианту ответа В.

Ответ: В) $\frac{\sqrt{3}}{3}$