Страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из равенств верно?

A) $\cos (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$

Б) $\cos (180^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$

B) $\sin (180^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$

Г) $\sin (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$

Для определения верного равенства воспользуемся формулами приведения. Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции от углов, связанных с $180^\circ$ или $90^\circ$, через функции угла $\alpha$.

Правила для угла $180^\circ - \alpha$:

1. Определение знака: Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II координатной четверти (если считать $\alpha$ острым углом). В этой четверти синус положителен ($\sin > 0$), а косинус отрицателен ($\cos < 0$).
2. Определение функции: Если в формуле используется угол $180^\circ$ ($\pi$) или $360^\circ$ ($2\pi$), то название тригонометрической функции не меняется (синус остается синусом, косинус — косинусом).

Исходя из этих правил, получаем следующие тождества:

• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ (косинус во II четверти отрицателен, функция не меняется).
• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ (синус во II четверти положителен, функция не меняется).

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $\cos(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

Данное равенство неверно. Согласно формуле приведения, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Равенство $-\cos \alpha = \sin \alpha$ не является тождеством. Ответ: неверно.

Б) $\cos(180^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

Данное равенство неверно. В правильной формуле $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ должен стоять знак минус. Ответ: неверно.

В) $\sin(180^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

Данное равенство неверно. Согласно формуле приведения, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Название функции не должно меняться на кофункцию. Ответ: неверно.

Г) $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

Данное равенство является верным. Оно в точности соответствует выведенной выше формуле приведения для синуса. Ответ: верно.

2. Какое из неравенств верно?

А) $\sin 100^\circ \cos 110^\circ > 0$

Б) $\sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0$

В) $\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0$

Г) $\sin 100^\circ \cos 90^\circ > 0$

Для решения этой задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций для заданных углов. Для этого удобно использовать тригонометрическую окружность. Углы принято отсчитывать от положительного направления оси Ох против часовой стрелки.

• I четверть: $0° < \alpha < 90°$ ($\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0$)
• II четверть: $90° < \alpha < 180°$ ($\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0$)
• III четверть: $180° < \alpha < 270°$ ($\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0$)
• IV четверть: $270° < \alpha < 360°$ ($\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0$)

Определим знак каждого множителя в предложенных неравенствах:

• $\sin 100°$: Угол $100°$ находится во II четверти, где синус положителен. Значит, $\sin 100° > 0$.
• $\cos 110°$: Угол $110°$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Значит, $\cos 110° < 0$.
• $\cos 10°$: Угол $10°$ находится в I четверти, где косинус положителен. Значит, $\cos 10° > 0$.
• $\cos 90°$: Это граничный угол. Его косинус равен нулю. Значит, $\cos 90° = 0$.

Теперь проверим каждое неравенство:

А) $\sin 100° \cos 110° > 0$

Подставляем знаки множителей: $(+) \cdot (-) = (-)$. Результат — отрицательное число. Неравенство утверждает, что произведение больше нуля, что неверно.

Б) $\sin 100° \cos 10° < 0$

Подставляем знаки множителей: $(+) \cdot (+) = (+)$. Результат — положительное число. Неравенство утверждает, что произведение меньше нуля, что неверно.

В) $\sin 100° \cos 110° < 0$

Подставляем знаки множителей: $(+) \cdot (-) = (-)$. Результат — отрицательное число. Неравенство утверждает, что произведение меньше нуля, что верно.

Г) $\sin 100° \cos 90° > 0$

Так как $\cos 90° = 0$, то всё произведение равно нулю: $\sin 100° \cdot 0 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Таким образом, единственное верное неравенство — В.
Ответ: В

3. Чему равна третья сторона треугольника, если две его стороны равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120°?

А) $\sqrt{97}$ см

Б) 7 см

В) 9 см

Г) $\sqrt{32}$ см

Для нахождения третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используется теорема косинусов. Она гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$, где $a$ и $b$ — длины известных сторон, $\gamma$ — угол между ними, а $c$ — искомая третья сторона.

В данной задаче нам даны следующие значения:

$a = 3$ см

$b = 8$ см

$\gamma = 120^\circ$

Подставим эти значения в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Возведем в квадрат длины известных сторон:

$3^2 = 9$

$8^2 = 64$

2. Найдем значение косинуса угла $120^\circ$. Используя формулу приведения, получаем: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0.5$.

3. Подставим полученные значения обратно в формулу:

$c^2 = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot (-0.5)$

$c^2 = 73 - 48 \cdot (-0.5)$

$c^2 = 73 + 24$

$c^2 = 97$

4. Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$c = \sqrt{97}$ см.

Полученный результат соответствует варианту А).

Ответ: А) $\sqrt{97}$ см

4. Каким является угол, лежащий против большей стороны треугольника со сторонами 4 см, 7 см и 9 см?

А) острым

В) прямым

Б) тупым

Г) невозможно установить

Для того чтобы определить вид угла, лежащего против большей стороны треугольника, необходимо воспользоваться следствием из теоремы косинусов. Пусть стороны треугольника равны $a, b$ и $c$, где $c$ — наибольшая сторона. Угол $\gamma$, лежащий против стороны $c$, определяется соотношением между квадратом этой стороны и суммой квадратов двух других сторон.

Заданные стороны треугольника: $a = 4$ см, $b = 7$ см, $c = 9$ см.
Наибольшей стороной является $c = 9$ см. Нам нужно определить вид угла, лежащего против этой стороны.

1. Проверка существования треугольника.
Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух его сторон должна быть больше длины третьей стороны.
$4 + 7 > 9 \implies 11 > 9$ (верно)
$4 + 9 > 7 \implies 13 > 7$ (верно)
$7 + 9 > 4 \implies 16 > 4$ (верно)
Все условия выполняются, следовательно, такой треугольник существует.

2. Определение вида угла.
Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
— Если $c^2 < a^2 + b^2$, то угол $\gamma$ — острый.
— Если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол $\gamma$ — прямой.
— Если $c^2 > a^2 + b^2$, то угол $\gamma$ — тупой.

Вычислим значения:
Квадрат большей стороны: $c^2 = 9^2 = 81$.
Сумма квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$.

Теперь сравним полученные величины:
$81$ и $65$.
Поскольку $81 > 65$, то выполняется соотношение $c^2 > a^2 + b^2$.

Это означает, что угол, лежащий против большей стороны треугольника, является тупым.

Ответ: Б) тупым

5. Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на 10 см больше другой, равен $60^\circ$, а третья сторона равна 14 см. Какова длина наибольшей стороны треугольника?

А) 16 см

Б) 14 см

В) 18 см

Г) 15 см

Пусть одна из двух сторон треугольника, между которыми лежит угол в 60°, равна $x$ см. По условию, другая сторона на 10 см больше, значит, ее длина составляет $(x + 10)$ см. Третья сторона треугольника равна 14 см.

Для нахождения длин неизвестных сторон применим теорему косинусов, которая гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула выглядит так: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Подставим в формулу наши данные: $c = 14$, $a = x+10$, $b = x$, $\gamma = 60^{\circ}$.

$14^2 = (x + 10)^2 + x^2 - 2 \cdot (x + 10) \cdot x \cdot \cos(60^{\circ})$

Так как $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, подставим это значение в уравнение и упростим его:

$196 = (x^2 + 20x + 100) + x^2 - 2 \cdot (x + 10) \cdot x \cdot \frac{1}{2}$

$196 = x^2 + 20x + 100 + x^2 - (x^2 + 10x)$

$196 = 2x^2 + 20x + 100 - x^2 - 10x$

$196 = x^2 + 10x + 100$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x + 100 - 196 = 0$

$x^2 + 10x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-10 + 22}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{484}}{2} = \frac{-10 - 22}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Длина стороны треугольника не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -16$ не является решением задачи. Следовательно, длина одной стороны равна 6 см.

Длина второй стороны равна $x + 10 = 6 + 10 = 16$ см.

Таким образом, стороны треугольника имеют длины 6 см, 14 см и 16 см.

Наибольшая сторона треугольника имеет длину 16 см, что соответствует варианту А).

Ответ: А) 16 см

6. Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а его стороны относятся как 2 : 3. Чему равен периметр параллелограмма?

А) 25 см

Б) 30 см

В) 40 см

Г) 50 см

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает длины его сторон и диагоналей. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырёх сторон. Если обозначить смежные стороны как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$, то формула будет выглядеть так:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Из условия задачи нам известны длины диагоналей: $d_1 = 17$ см и $d_2 = 19$ см. Также дано соотношение сторон: $a : b = 2 : 3$. Мы можем выразить стороны через неизвестный коэффициент пропорциональности $k$:

$a = 2k$

$b = 3k$

Теперь подставим все известные данные в основную формулу:

$17^2 + 19^2 = 2((2k)^2 + (3k)^2)$

Выполним вычисления:

$289 + 361 = 2(4k^2 + 9k^2)$

$650 = 2(13k^2)$

$650 = 26k^2$

Отсюда найдем $k^2$:

$k^2 = \frac{650}{26} = 25$

Поскольку $k$ является множителем для длины стороны, его значение должно быть положительным:

$k = \sqrt{25} = 5$

Зная $k$, мы можем вычислить длины сторон параллелограмма:

$a = 2k = 2 \cdot 5 = 10$ см

$b = 3k = 3 \cdot 5 = 15$ см

Периметр параллелограмма находится по формуле $P = 2(a+b)$. Подставим найденные значения сторон:

$P = 2(10 + 15) = 2(25) = 50$ см.

Среди предложенных вариантов ответа 50 см соответствует варианту Г.

Ответ: Г) 50 см.

7. В треугольнике ABC известно, что $AB = 8$ см, $\angle C = 30^\circ$, $\angle A = 45^\circ$.

Чему равна сторона $BC$?

A) $8\sqrt{2}$ см

Б) $4\sqrt{2}$ см

В) $16\sqrt{2}$ см

Г) $12\sqrt{2}$ см

Для нахождения длины стороны $BC$ в треугольнике $ABC$ можно применить теорему синусов. Эта теорема устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов. Формулировка теоремы синусов выглядит следующим образом:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем треугольнике $ABC$ известны следующие данные:

• Длина стороны $AB = 8$ см.
• Угол $\angle C = 30^\circ$, который лежит напротив стороны $AB$.
• Угол $\angle A = 45^\circ$, который лежит напротив искомой стороны $BC$.

Используем часть теоремы синусов, связывающую известные и искомые величины:

$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

Подставим в это уравнение известные значения:

$ \frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 30^\circ} $

Чтобы найти $BC$, выразим его из пропорции:

$ BC = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} $

Значения синусов для данных углов являются стандартными:

$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

Подставим эти значения в нашу формулу и произведем расчет:

$ BC = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} $

Деление на $\frac{1}{2}$ эквивалентно умножению на 2:

$ BC = 4\sqrt{2} \cdot 2 = 8\sqrt{2} $ см.

Таким образом, длина стороны $BC$ составляет $8\sqrt{2}$ см, что соответствует варианту ответа А).

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.

8. Чему равно отношение $AC : BC$ сторон треугольника $ABC$, если $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 30^\circ$?

А) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Б) $\sqrt{3}$

В) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Г) $\frac{2}{\sqrt{3}}$

Для нахождения отношения сторон треугольника $AC$ и $BC$ воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, а сторона $BC$ — напротив угла $A$. Таким образом, соотношение можно записать в виде:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Чтобы найти искомое отношение $\frac{AC}{BC}$, выразим его из этого уравнения:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)}$

Подставим в формулу заданные значения углов: $\angle A = 120^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$.

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)}$

Теперь необходимо вычислить значения синусов. Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Для нахождения синуса 120 градусов воспользуемся формулой приведения: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим полученные значения в наше отношение:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

При делении дробей "вторая" дробь переворачивается:

$\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Чтобы привести ответ к виду одного из вариантов, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Полученное значение соответствует варианту ответа В.

Ответ: В) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

9. В треугольнике ABC $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^{\circ}$. Чему равен диаметр окружности, описанной около треугольника?

А) 4 см

Б) 8 см

В) 16 см

Г) 2 см

Для решения этой задачи используется следствие из теоремы синусов. Оно гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру ($D$) окружности, описанной около этого треугольника.

Формула выглядит следующим образом: $ D = 2R = \frac{a}{\sin \alpha} $, где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — противолежащий ей угол, а $R$ — радиус описанной окружности.

В нашем треугольнике $ABC$ даны сторона $AB = 4\sqrt{2}$ см и противолежащий ей угол $\angle C = 135^\circ$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения диаметра:

$ D = \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} $

Найдем значение $\sin 135^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ $

Значение синуса $45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение в нашу формулу для диаметра:

$ D = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $

Для вычисления разделим числитель на дробь в знаменателе, что равносильно умножению на перевернутую дробь:

$ D = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} $

Сокращаем общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$ D = 4 \cdot 2 = 8 $ см.

Таким образом, диаметр описанной окружности равен 8 см.

Ответ: Б) 8 см

10. Какое наибольшее значение может принимать площадь треугольника со сторонами 8 см и 12 см?

А) 96 $см^2$

Б) 48 $см^2$

В) 24 $см^2$

Г) невозможно установить

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей длины двух сторон и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

где $a$ и $b$ — известные стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В данном случае нам даны стороны $a = 8$ см и $b = 12$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin\gamma$

$S = 48 \sin\gamma$

Чтобы найти наибольшее возможное значение площади $S$, нам необходимо найти максимальное значение выражения $48 \sin\gamma$. Так как 48 является константой, нам нужно максимизировать значение $\sin\gamma$.

Угол $\gamma$ в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. Максимальное значение функции синус в этом диапазоне равно 1, и оно достигается, когда угол $\gamma$ равен $90^\circ$.

$\sin\gamma_{max} = \sin(90^\circ) = 1$

Это означает, что площадь будет максимальной, когда данные стороны будут перпендикулярны друг другу, то есть образуют прямой угол (треугольник будет прямоугольным).

Теперь вычислим максимальную площадь:

$S_{max} = 48 \cdot 1 = 48$ см².

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту Б.

Ответ: Б) 48 см²

11. Чему равна сумма радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см?

А) 36 см

Б) 30 см

В) 32,5 см

Г) 38,5 см

Для нахождения суммы радиусов вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей воспользуемся следующими формулами:

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Радиус описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника.

Нам дан треугольник со сторонами $a = 25$ см, $b = 33$ см, $c = 52$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25 + 33 + 52}{2} = \frac{110}{2} = 55$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$p-a = 55 - 25 = 30$ см

$p-b = 55 - 33 = 22$ см

$p-c = 55 - 52 = 3$ см

$S = \sqrt{55 \cdot 30 \cdot 22 \cdot 3} = \sqrt{(5 \cdot 11) \cdot (5 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 11^2 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{5^2 \cdot 11^2 \cdot 6^2} = 5 \cdot 11 \cdot 6 = 330$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{330}{55} = 6$ см.

4. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{4 \cdot 330} = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{1320}$

Сократим дробь:

$R = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{4 \cdot 10 \cdot 33} = \frac{25 \cdot 52}{40} = \frac{5 \cdot 52}{8} = \frac{5 \cdot 13}{2} = \frac{65}{2} = 32,5$ см.

5. Найдем сумму радиусов $r + R$:

$r + R = 6 + 32,5 = 38,5$ см.

Ответ: Г) 38,5 см