Номер 11, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Чему равна сумма радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см?

А) 36 см

Б) 30 см

В) 32,5 см

Г) 38,5 см

Для нахождения суммы радиусов вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей воспользуемся следующими формулами:

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Радиус описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника.

Нам дан треугольник со сторонами $a = 25$ см, $b = 33$ см, $c = 52$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25 + 33 + 52}{2} = \frac{110}{2} = 55$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$p-a = 55 - 25 = 30$ см

$p-b = 55 - 33 = 22$ см

$p-c = 55 - 52 = 3$ см

$S = \sqrt{55 \cdot 30 \cdot 22 \cdot 3} = \sqrt{(5 \cdot 11) \cdot (5 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 11^2 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{5^2 \cdot 11^2 \cdot 6^2} = 5 \cdot 11 \cdot 6 = 330$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{330}{55} = 6$ см.

4. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{4 \cdot 330} = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{1320}$

Сократим дробь:

$R = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{4 \cdot 10 \cdot 33} = \frac{25 \cdot 52}{40} = \frac{5 \cdot 52}{8} = \frac{5 \cdot 13}{2} = \frac{65}{2} = 32,5$ см.

5. Найдем сумму радиусов $r + R$:

$r + R = 6 + 32,5 = 38,5$ см.

Ответ: Г) 38,5 см