Номер 6, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Как расположены друг относительно друга центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть определения центров вписанной и описанной окружностей и свойства правильного многоугольника.

Центр вписанной окружности — это точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника. Она является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов.

Центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника. Она является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны.

Рассмотрим правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности. По определению, точка $O$ равноудалена от всех вершин:

$OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$

Соединив точку $O$ с вершинами, мы получим $n$ равнобедренных треугольников: $\triangle OA_1A_2$, $\triangle OA_2A_3$ и так далее. Поскольку все стороны многоугольника равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ...$), а боковые стороны этих треугольников являются радиусами описанной окружности ($OA_1 = OA_2 = ...$), то все эти треугольники равны между собой по трем сторонам.

В равных треугольниках равны и соответствующие высоты. Проведем из вершины $O$ высоты к основаниям этих треугольников (которые являются сторонами многоугольника). Эти высоты будут расстояниями от точки $O$ до сторон многоугольника. Так как все треугольники равны, то и все эти высоты равны между собой.

Это означает, что точка $O$ равноудалена не только от всех вершин, но и от всех сторон правильного многоугольника. А точка, равноудаленная от всех сторон, является центром вписанной окружности.

Таким образом, для любого правильного многоугольника точка, являющаяся центром описанной окружности, является также и центром вписанной окружности. Эта общая точка называется центром правильного многоугольника.

Ответ: Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника совпадают, то есть находятся в одной и той же точке.