Номер 11, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Как, имея построенный правильный $n$-угольник, можно построить правильный $2n$-угольник?

Для построения правильного $2n$-угольника, имея построенный правильный $n$-угольник, необходимо выполнить следующие действия. Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности, которая называется описанной. Задача состоит в том, чтобы найти середины дуг, стягиваемых сторонами исходного $n$-угольника. Эти середины дуг, вместе с исходными вершинами, и будут образовывать вершины искомого $2n$-угольника.

Алгоритм построения:

1. Находим центр описанной окружности исходного $n$-угольника. Для этого достаточно построить серединные перпендикуляры к двум любым его непараллельным сторонам. Точка их пересечения $O$ и будет центром окружности.
2. Описываем окружность с центром в точке $O$, проходящую через все вершины $n$-угольника ($A_1, A_2, \ldots, A_n$).
3. Для каждой стороны исходного $n$-угольника (например, $A_k A_{k+1}$) строим ее серединный перпендикуляр.
4. Точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне $A_k A_{k+1}$ с дугой описанной окружности, стягиваемой этой стороной, будет новой вершиной $B_k$ искомого $2n$-угольника. Эта точка делит дугу $A_k A_{k+1}$ пополам.
5. Повторяем шаг 4 для всех $n$ сторон исходного многоугольника. В результате мы получим $n$ новых вершин ($B_1, B_2, \ldots, B_n$).
6. Соединяем последовательно все $2n$ вершин ($A_1, B_1, A_2, B_2, \ldots, A_n, B_n$) отрезками. Полученная фигура и будет являться правильным $2n$-угольником.

Данное построение является верным, так как стороны правильного $n$-угольника стягивают $n$ равных дуг описанной окружности. Серединные перпендикуляры к сторонам (которые являются хордами окружности) делят эти дуги пополам. В результате мы получаем $2n$ равных дуг, а соединение их концов хордами дает правильный $2n$-угольник.

Ответ: Необходимо найти центр описанной окружности данного $n$-угольника, а затем для каждой его стороны построить серединный перпендикуляр до пересечения с дугой описанной окружности. Точки пересечения вместе с вершинами исходного $n$-угольника образуют вершины правильного $2n$-угольника.