Номер 183, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

183. Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен:

1) $140^\circ$;

2) $130^\circ$?

Чтобы определить, существует ли правильный многоугольник с заданным углом, можно использовать формулу для вычисления величины внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Здесь $n$ — это количество сторон многоугольника. Для того чтобы многоугольник существовал, значение $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3, n \in \mathbb{Z}$).

Также можно использовать формулу, связывающую количество сторон $n$ с величиной внешнего угла $\beta$. Внешний угол равен $\beta = 180^\circ - \alpha$, а количество сторон вычисляется как $n = \frac{360^\circ}{\beta}$. Этот способ часто проще.

1) 140°

Подставим значение угла $\alpha = 140^\circ$ в формулу и найдем $n$:

$140^\circ = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

$140n = 180(n-2)$

$140n = 180n - 360$

$180n - 140n = 360$

$40n = 360$

$n = \frac{360}{40} = 9$

Поскольку мы получили целое число $n=9$ ($9 \ge 3$), то правильный многоугольник с углом 140° существует. Это правильный девятиугольник.

Ответ: да, существует.

2) 130°

Проверим, существует ли правильный многоугольник с углом $\alpha = 130^\circ$. Воспользуемся вторым, более быстрым методом.

Сначала найдем внешний угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Теперь найдем количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{50^\circ} = \frac{36}{5} = 7.2$

Поскольку число сторон $n = 7.2$ не является целым числом, правильного многоугольника с углом 130° не существует.

Ответ: нет, не существует.