Номер 189, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

189. Пусть $a_4$ — сторона квадрата, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими сторону квадрата $a_4$ с радиусами вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей.

• Радиус вписанной окружности $r$ равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a_4}{2}$. Отсюда, сторона квадрата $a_4 = 2r$.
• Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали квадрата. Диагональ, в свою очередь, равна $a_4\sqrt{2}$. Таким образом, $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$. Отсюда, сторона квадрата $a_4 = R\sqrt{2}$.

Выполним расчеты для каждой строки таблицы.

Для строки с $a_4 = 8$

Находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Находим радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

Ответ: $R = 4\sqrt{2}$, $r = 4$.

Для строки с $R = 4$

Находим сторону квадрата $a_4$ из формулы для радиуса описанной окружности:

$a_4 = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Теперь находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_4}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $a_4 = 4\sqrt{2}$, $r = 2\sqrt{2}$.

Для строки с $r = \sqrt{2}$

Находим сторону квадрата $a_4$ из формулы для радиуса вписанной окружности:

$a_4 = 2r = 2\sqrt{2}$

Теперь находим радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$

Ответ: $a_4 = 2\sqrt{2}$, $R = 2$.