Страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

188. Пусть $a_3$ — сторона правильного треугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

$a_3$ $R$ $r$

$6\sqrt{3}$ - -

- $4\sqrt{3}$ -

- - $2$

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся формулами, связывающими сторону правильного треугольника ($a_3$) с радиусами его вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей.

Основные формулы:

• Связь радиуса описанной окружности со стороной: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$ или $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3}$
• Связь радиуса вписанной окружности со стороной: $r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$ или $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6}$
• Связь между радиусами: $R = 2r$

Из этих формул можно выразить сторону через радиусы:

• $a_3 = R\sqrt{3}$
• $a_3 = 2r\sqrt{3}$

Теперь решим задачу для каждой строки таблицы.

Заполнение первой строки таблицы

Дано значение стороны $a_3 = 6\sqrt{3}$.

1. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$. Проще всего это сделать, используя соотношение $R = 2r$:

$r = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: $R = 6$, $r = 3$.

Заполнение второй строки таблицы

Дано значение радиуса описанной окружности $R = 4\sqrt{3}$.

1. Найдем сторону треугольника $a_3$:

$a_3 = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{R}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $a_3 = 12$, $r = 2\sqrt{3}$.

Заполнение третьей строки таблицы

Дано значение радиуса вписанной окружности $r = 2$.

1. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

2. Найдем сторону треугольника $a_3$:

$a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $a_3 = 4\sqrt{3}$, $R = 4$.

189. Пусть $a_4$ — сторона квадрата, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими сторону квадрата $a_4$ с радиусами вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей.

• Радиус вписанной окружности $r$ равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a_4}{2}$. Отсюда, сторона квадрата $a_4 = 2r$.
• Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали квадрата. Диагональ, в свою очередь, равна $a_4\sqrt{2}$. Таким образом, $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$. Отсюда, сторона квадрата $a_4 = R\sqrt{2}$.

Выполним расчеты для каждой строки таблицы.

Для строки с $a_4 = 8$

Находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Находим радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

Ответ: $R = 4\sqrt{2}$, $r = 4$.

Для строки с $R = 4$

Находим сторону квадрата $a_4$ из формулы для радиуса описанной окружности:

$a_4 = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Теперь находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_4}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $a_4 = 4\sqrt{2}$, $r = 2\sqrt{2}$.

Для строки с $r = \sqrt{2}$

Находим сторону квадрата $a_4$ из формулы для радиуса вписанной окружности:

$a_4 = 2r = 2\sqrt{2}$

Теперь находим радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$

Ответ: $a_4 = 2\sqrt{2}$, $R = 2$.

190. Высота правильного треугольника равна 15 см. Чему равен радиус:

1) описанной окружности;

2) вписанной окружности?

В правильном (равностороннем) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Этот центр является точкой пересечения высот, медиан и биссектрис, которые в данном типе треугольника являются одними и теми же отрезками. Точка пересечения делит каждую высоту $h$ в отношении $2:1$, считая от вершины. По условию, высота треугольника $h = 15$ см.

1) описанной окружности;
Радиус описанной окружности, обозначенный как $R$, — это расстояние от центра треугольника до любой из его вершин. Эта длина составляет большую часть высоты, то есть $2/3$ от всей её длины.
Формула для вычисления: $R = \frac{2}{3}h$.
Подставим в формулу значение высоты:
$R = \frac{2}{3} \times 15 = 2 \times 5 = 10$ см.
Ответ: 10 см.

2) вписанной окружности;
Радиус вписанной окружности, обозначенный как $r$, — это расстояние от центра треугольника до любой из его сторон (длина перпендикуляра). Эта длина составляет меньшую часть высоты, то есть $1/3$ от всей её длины.
Формула для вычисления: $r = \frac{1}{3}h$.
Подставим в формулу значение высоты:
$r = \frac{1}{3} \times 15 = 5$ см.
Ответ: 5 см.

191. Диагональ квадрата равна $6\sqrt{2}$ см. Чему равен радиус:

1) описанной окружности;

2) вписанной окружности?

Сначала найдем сторону квадрата, зная его диагональ. Пусть сторона квадрата равна $a$, а диагональ $d$.

По условию задачи, диагональ квадрата $d = 6\sqrt{2}$ см.

Связь между стороной и диагональю квадрата определяется по теореме Пифагора: $d = a\sqrt{2}$.

Выразим сторону $a$:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ см.

Теперь мы можем найти радиусы описанной и вписанной окружностей.

1) описанной окружности

Радиус описанной около квадрата окружности ($R$) равен половине его диагонали.

$R = \frac{d}{2}$

Подставим значение диагонали:

$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

2) вписанной окружности

Радиус вписанной в квадрат окружности ($r$) равен половине его стороны.

$r = \frac{a}{2}$

Подставим значение стороны, которое мы нашли ранее ($a = 6$ см):

$r = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

192. Радиус окружности равен 12 см. Найдите сторону вписанного в эту окружность правильного:

1) шестиугольника;

2) двенадцатиугольника.

Для нахождения стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность, используется формула, связывающая сторону многоугольника $a_n$ с радиусом описанной окружности $R$ и числом сторон $n$:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

По условию задачи, радиус окружности $R = 12$ см.

1) шестиугольника

Для правильного шестиугольника число сторон $n = 6$.

Существует известное свойство: сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Это можно увидеть, если соединить вершины шестиугольника с центром окружности, разделив его на 6 равносторонних треугольников. Стороны этих треугольников равны радиусу.

Следовательно, $a_6 = R = 12$ см.

Также можно применить общую формулу:

$a_6 = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 24 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$a_6 = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2) двенадцатиугольника

Для правильного двенадцатиугольника число сторон $n = 12$.

Воспользуемся общей формулой:

$a_{12} = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{12}\right) = 24 \cdot \sin(15^\circ)$

Для вычисления значения $\sin(15^\circ)$ используем формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Представим $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$:

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Подставим известные значения синусов и косинусов:

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим найденное значение $\sin(15^\circ)$ в формулу для стороны двенадцатиугольника:

$a_{12} = 24 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ см.

Ответ: $6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ см.

193. Радиус окружности равен $8\sqrt{3}$ см. Найдите сторону описанного около этой окружности правильного шестиугольника.

Пусть $a$ — искомая сторона правильного шестиугольника, а $r$ — радиус данной окружности. Так как правильный шестиугольник описан около окружности, то эта окружность является вписанной в шестиугольник. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности связан с его стороной $a$ следующей формулой:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Из условия задачи мы знаем, что радиус окружности равен $r = 8\sqrt{3}$ см. Чтобы найти сторону $a$, выразим ее из формулы:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Теперь подставим заданное значение радиуса $r$ в полученную формулу:

$a = \frac{2 \cdot 8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Сократив $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе, получим:

$a = 2 \cdot 8 = 16$

Таким образом, сторона описанного правильного шестиугольника равна 16 см.

Ответ: 16 см.

194. Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.

Для доказательства воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника.

Рассмотрим правильный треугольник $\triangle ABC$. В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Обозначим этот общий центр буквой $O$. Эта точка является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника.

Проведем из вершины $A$ к стороне $BC$ медиану $AM$. Так как треугольник $\triangle ABC$ является правильным, то медиана $AM$ одновременно является и высотой, и биссектрисой.

Радиус описанной окружности, который мы обозначим как $R$, — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин треугольника. Следовательно, $R = AO$.

Радиус вписанной окружности, который мы обозначим как $r$, — это расстояние от центра $O$ до любой из сторон треугольника. Поскольку $AM$ является высотой, перпендикулярной к стороне $BC$, то радиус $r$ равен длине отрезка $OM$. Следовательно, $r = OM$.

Ключевым для доказательства является свойство медиан треугольника: они пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Поскольку $O$ является точкой пересечения медиан, она делит медиану $AM$ в следующем отношении:

$$ \frac{AO}{OM} = \frac{2}{1} $$

Теперь подставим в это соотношение определенные нами радиусы $R = AO$ и $r = OM$:

$$ \frac{R}{r} = 2 $$

Из этого равенства напрямую следует, что $R = 2r$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в него, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

195. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, на 4 см больше радиуса вписанной окружности. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Согласно условию задачи, радиус описанной окружности на 4 см больше радиуса вписанной окружности. Математически это можно записать так:

$R = r + 4$

Для правильного (равностороннего) треугольника существует общая зависимость между радиусами описанной и вписанной окружностей. Центры этих окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности — это отрезок от центра до вершины, а радиус вписанной — это перпендикуляр от центра до стороны (часть медианы). Таким образом, для правильного треугольника радиус описанной окружности всегда в два раза больше радиуса вписанной окружности:

$R = 2r$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} R = r + 4 \\ R = 2r \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$2r = r + 4$

$2r - r = 4$

$r = 4$ см.

Мы нашли радиус вписанной окружности. Теперь, зная $r$, найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Осталось найти сторону правильного треугольника, которую обозначим как $a$. Для этого можно использовать формулу, связывающую сторону правильного треугольника с радиусом описанной окружности:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим из этой формулы сторону $a$:

$a = R\sqrt{3}$

Подставим известное значение $R$:

$a = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 4 см, радиус описанной окружности равен 8 см, сторона треугольника равна $8\sqrt{3}$ см.

196. Сторона правильного многоугольника равна $a$, радиус описанной окружности равен $R$. Найдите радиус вписанной окружности.

Рассмотрим правильный многоугольник. Пусть $O$ — его центр, который также является центром вписанной и описанной окружностей.

Соединим центр $O$ с двумя соседними вершинами многоугольника, $A$ и $B$. Получим равнобедренный треугольник $AOB$, где боковые стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу описанной окружности $R$, а основание $AB$ равно стороне многоугольника $a$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на сторону многоугольника. Проведем высоту $OH$ в треугольнике $AOB$ к основанию $AB$. Длина этой высоты и есть радиус вписанной окружности, то есть $OH = r$.

Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, высота $OH$ является также и медианой. Следовательно, она делит основание $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. В нем:

• гипотенуза $OA = R$ (радиус описанной окружности)
• катет $AH = \frac{a}{2}$ (половина стороны многоугольника)
• катет $OH = r$ (радиус вписанной окружности)

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OA^2 = AH^2 + OH^2$

Подставим в это равенство известные величины:

$R^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2$

Выразим отсюда $r^2$:

$r^2 = R^2 - \frac{a^2}{4}$

Поскольку радиус $r$ — это длина, он должен быть положительным. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$r = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

Ответ: $r = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

197. Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника равны соответственно $r$ и $R$. Найдите сторону многоугольника.

Рассмотрим правильный многоугольник. Соединим его центр $O$ с двумя соседними вершинами $A$ и $B$. Мы получим равнобедренный треугольник $AOB$. В этом треугольнике боковые стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу описанной окружности $R$, а основание $AB$ равно стороне многоугольника $a$, которую нам нужно найти.

Проведем высоту $OM$ из центра $O$ к стороне $AB$. Эта высота в равнобедренном треугольнике $AOB$ является также медианой. Длина этой высоты равна радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник $OMA$, в котором:

• гипотенуза $OA = R$ (радиус описанной окружности);
• катет $OM = r$ (радиус вписанной окружности);
• катет $AM$ равен половине стороны многоугольника, так как $OM$ — медиана, то есть $AM = \frac{a}{2}$.

Применим к треугольнику $OMA$ теорему Пифагора:$OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим известные величины в формулу:$R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Теперь выразим из этого уравнения сторону $a$:$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2 - r^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$\frac{a}{2} = \sqrt{R^2 - r^2}$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $a$:$a = 2\sqrt{R^2 - r^2}$

Ответ: $2\sqrt{R^2 - r^2}$