Страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

224. Окружность разделена на пять равных дуг: $\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DE = \cup AE$. Найдите:

1) $\angle BAC$;

2) $\angle BAD$;

3) $\angle BAE$;

4) $\angle CAD$;

5) $\angle DAE$.

Полный оборот окружности составляет $360^\circ$. По условию задачи, окружность разделена на пять равных дуг: $\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DE = \cup AE$.

Найдем градусную меру каждой из этих дуг. Так как дуги равны, то градусная мера каждой из них составляет:
$\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DE = \cup AE = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Все искомые углы являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Исходя из этого правила, найдем величину каждого угла.

1) ∠BAC

Угол $\angle BAC$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup BC$.
Следовательно, его величина равна:
$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

2) ∠BAD

Угол $\angle BAD$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup BD$. Эта дуга состоит из двух равных дуг: $\cup BD = \cup BC + \cup CD$.
Градусная мера дуги $\cup BD$ равна:
$\cup BD = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle BAD$ равна:
$\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot \cup BD = \frac{1}{2} \cdot 144^\circ = 72^\circ$.
Ответ: $72^\circ$.

3) ∠BAE

Угол $\angle BAE$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup BDE$. Эта дуга состоит из трех равных дуг: $\cup BDE = \cup BC + \cup CD + \cup DE$.
Градусная мера дуги $\cup BDE$ равна:
$\cup BDE = 72^\circ + 72^\circ + 72^\circ = 216^\circ$.
Следовательно, величина угла $\angle BAE$ равна:
$\angle BAE = \frac{1}{2} \cdot \cup BDE = \frac{1}{2} \cdot 216^\circ = 108^\circ$.
Ответ: $108^\circ$.

4) ∠CAD

Угол $\angle CAD$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup CD$.
Следовательно, его величина равна:
$\angle CAD = \frac{1}{2} \cdot \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

5) ∠DAE

Угол $\angle DAE$ — вписанный, он опирается на дугу $\cup DE$.
Следовательно, его величина равна:
$\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot \cup DE = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.

225. На одной стороне угла с вершиной в точке $A$ отметили точки $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$), а на другой – точки $D$ и $E$ (точка $D$ лежит между точками $A$ и $E$), причём $AB = 28$ см, $BC = 8$ см, $AD = 24$ см, $AE = 42$ см, $BE = 21$ см. Найдите отрезок $CD$.

Вычисление длины стороны AC

По условию задачи, точка $B$ находится на отрезке $AC$ между точками $A$ и $C$. Это означает, что длина отрезка $AC$ складывается из длин отрезков $AB$ и $BC$.
$AC = AB + BC = 28 + 8 = 36$ см.

Доказательство подобия треугольников

Рассмотрим два треугольника, образованных данными точками: $\triangle ACD$ и $\triangle AEB$.
1. Угол $A$ (или $\angle CAD$) является общим для обоих треугольников.
2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому общему углу. Найдем отношения соответствующих сторон:
Отношение стороны $AD$ из $\triangle ACD$ к стороне $AB$ из $\triangle AEB$:
$\frac{AD}{AB} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$.
Отношение стороны $AC$ из $\triangle ACD$ к стороне $AE$ из $\triangle AEB$:
$\frac{AC}{AE} = \frac{36}{42} = \frac{6}{7}$.
Так как отношения сторон равны ($\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AE}$), и угол между этими сторонами общий, то треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).
Таким образом, $\triangle ACD \sim \triangle AEB$.

Нахождение длины отрезка CD

Из подобия треугольников $\triangle ACD \sim \triangle AEB$ следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k = \frac{6}{7}$.
Соответствующими сторонами являются $CD$ и $EB$. Следовательно, их отношение также равно коэффициенту подобия:
$\frac{CD}{EB} = k = \frac{6}{7}$.
Выразим искомую длину $CD$ из этой пропорции, зная, что по условию $BE = 21$ см (длина отрезка $EB$ равна длине $BE$):
$CD = EB \cdot \frac{6}{7} = 21 \cdot \frac{6}{7} = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Ответ: 18 см.

226. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, – 13 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный тупоугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 24$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AC$.

Следовательно, длина отрезка $HC$ равна половине длины основания:$HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр $O$ описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Поскольку прямая $BH$ является серединным перпендикуляром к основанию $AC$, центр $O$ лежит на прямой $BH$. Радиус описанной окружности по условию равен $R=13$ см. Это означает, что расстояние от центра $O$ до каждой из вершин треугольника равно 13 см: $OA = OB = OC = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Его гипотенуза $OC$ является радиусом описанной окружности. По теореме Пифагора найдем расстояние $OH$ от центра окружности до основания $AC$:
$OH^2 + HC^2 = OC^2$
$OH^2 + 12^2 = 13^2$
$OH^2 + 144 = 169$
$OH^2 = 169 - 144 = 25$
$OH = \sqrt{25} = 5$ см.

По условию, треугольник $ABC$ является тупоугольным. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию (в нашем случае, угол $B$). Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника. Это означает, что центр $O$ и вершина $B$ лежат по разные стороны от основания $AC$.

Следовательно, точка $H$ (середина основания) находится между вершиной $B$ и центром описанной окружности $O$ на прямой $BH$. Расстояние от центра $O$ до вершины $B$ равно радиусу $OB = R = 13$ см. Это расстояние складывается из высоты треугольника $BH$ (обозначим ее $h$) и расстояния $OH$ от центра до основания:
$OB = BH + OH$
$R = h + OH$
$13 = h + 5$
$h = 13 - 5 = 8$ см.

Теперь, зная высоту треугольника, мы можем найти его площадь по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$
$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Ответ: $96$ см².

227. Через точку $A$ к окружности проведены две касательные. Расстояние от точки $A$ до точки касания равно 12 см, а расстояние между точками касания – 14,4 см. Найдите радиус окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, а $B$ и $C$ — точки касания. Тогда $AB$ и $AC$ — это отрезки касательных, проведенных из точки $A$ к окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны. По условию, это расстояние равно 12 см.

Дано:

• $AB = AC = 12$ см (расстояние от точки $A$ до точек касания).
• $BC = 14,4$ см (расстояние между точками касания).

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то есть $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Таким образом, $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ являются прямоугольными треугольниками.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $AB = AC$, он является равнобедренным. Отрезок $AO$, соединяющий точку $A$ с центром окружности $O$, является биссектрисой угла $\angle BAC$ и медианой и высотой к основанию $BC$. Пусть $H$ — точка пересечения $AO$ и $BC$. Тогда $AH$ — высота в $\triangle ABC$, и $H$ — середина отрезка $BC$.

Найдем длину отрезка $BH$:

$BH = \frac{BC}{2} = \frac{14,4}{2} = 7,2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $AH$:

$AH^2 = AB^2 - BH^2$

$AH^2 = 12^2 - 7,2^2 = 144 - 51,84 = 92,16$

$AH = \sqrt{92,16} = 9,6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABO$ (угол $\angle ABO = 90^\circ$). $BH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AO$ (так как $BH \perp AO$).

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае, $\triangle AHB$ и $\triangle BHO$ подобны. Из подобия следует соотношение:

$\frac{AH}{BH} = \frac{BH}{OH}$

Выразим отсюда $OH$:

$OH = \frac{BH^2}{AH} = \frac{7,2^2}{9,6} = \frac{51,84}{9,6} = 5,4$ см.

Теперь мы можем найти радиус окружности $r = OB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBH$ (угол $\angle OHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$OB^2 = BH^2 + OH^2$

$r^2 = 7,2^2 + 5,4^2 = 51,84 + 29,16 = 81$

$r = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.