Номер 225, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

225. На одной стороне угла с вершиной в точке $A$ отметили точки $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$), а на другой – точки $D$ и $E$ (точка $D$ лежит между точками $A$ и $E$), причём $AB = 28$ см, $BC = 8$ см, $AD = 24$ см, $AE = 42$ см, $BE = 21$ см. Найдите отрезок $CD$.

Вычисление длины стороны AC

По условию задачи, точка $B$ находится на отрезке $AC$ между точками $A$ и $C$. Это означает, что длина отрезка $AC$ складывается из длин отрезков $AB$ и $BC$.
$AC = AB + BC = 28 + 8 = 36$ см.

Доказательство подобия треугольников

Рассмотрим два треугольника, образованных данными точками: $\triangle ACD$ и $\triangle AEB$.
1. Угол $A$ (или $\angle CAD$) является общим для обоих треугольников.
2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому общему углу. Найдем отношения соответствующих сторон:
Отношение стороны $AD$ из $\triangle ACD$ к стороне $AB$ из $\triangle AEB$:
$\frac{AD}{AB} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$.
Отношение стороны $AC$ из $\triangle ACD$ к стороне $AE$ из $\triangle AEB$:
$\frac{AC}{AE} = \frac{36}{42} = \frac{6}{7}$.
Так как отношения сторон равны ($\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AE}$), и угол между этими сторонами общий, то треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).
Таким образом, $\triangle ACD \sim \triangle AEB$.

Нахождение длины отрезка CD

Из подобия треугольников $\triangle ACD \sim \triangle AEB$ следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k = \frac{6}{7}$.
Соответствующими сторонами являются $CD$ и $EB$. Следовательно, их отношение также равно коэффициенту подобия:
$\frac{CD}{EB} = k = \frac{6}{7}$.
Выразим искомую длину $CD$ из этой пропорции, зная, что по условию $BE = 21$ см (длина отрезка $EB$ равна длине $BE$):
$CD = EB \cdot \frac{6}{7} = 21 \cdot \frac{6}{7} = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Ответ: 18 см.