Номер 222, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

222. Форму каких равных правильных многоугольников могут иметь дощечки паркета, чтобы ими можно было выстлать пол?

Для того чтобы равными правильными многоугольниками можно было выстлать пол (замостить плоскость) без зазоров и наложений, необходимо, чтобы сумма внутренних углов многоугольников, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^{\circ}$.

Величина внутреннего угла $\alpha_n$ правильного n-угольника определяется по формуле:$\alpha_n = \frac{180^{\circ} \cdot (n-2)}{n}$, где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

Пусть в одной вершине сходится $k$ одинаковых многоугольников. Так как многоугольники равны, то их углы также равны. Тогда должно выполняться условие:$k \cdot \alpha_n = 360^{\circ}$

Здесь $n$ (количество сторон) и $k$ (количество многоугольников в одной вершине) — целые числа, причем $n \ge 3$ и $k \ge 3$.

Подставим выражение для $\alpha_n$ в это уравнение:$k \cdot \frac{180^{\circ} \cdot (n-2)}{n} = 360^{\circ}$

Разделим обе части уравнения на $180^{\circ}$:$k \cdot \frac{n-2}{n} = 2$

Теперь выразим $n$ через $k$:$k(n-2) = 2n$
$kn - 2k = 2n$
$kn - 2n = 2k$
$n(k-2) = 2k$
$n = \frac{2k}{k-2}$

Преобразуем это выражение:$n = \frac{2(k-2) + 4}{k-2} = 2 + \frac{4}{k-2}$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, выражение $\frac{4}{k-2}$ также должно быть целым. Это означает, что $(k-2)$ должно быть целым делителем числа 4. Так как $k \ge 3$, то $k-2 \ge 1$.Целые положительные делители числа 4 — это 1, 2 и 4. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если $k-2 = 1$, то $k = 3$. Тогда $n = 2 + \frac{4}{1} = 6$. Это означает, что пол можно выстлать правильными шестиугольниками (в каждой вершине будут сходиться по 3 шестиугольника).
2. Если $k-2 = 2$, то $k = 4$. Тогда $n = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Это означает, что пол можно выстлать квадратами (в каждой вершине будут сходиться по 4 квадрата).
3. Если $k-2 = 4$, то $k = 6$. Тогда $n = 2 + \frac{4}{4} = 3$. Это означает, что пол можно выстлать правильными (равносторонними) треугольниками (в каждой вершине будут сходиться по 6 треугольников).

Других целых значений $k \ge 3$, для которых $(k-2)$ является делителем числа 4, не существует. Следовательно, существует только три вида правильных многоугольников, которыми можно замостить плоскость.

Ответ: Дощечки паркета могут иметь форму правильного треугольника, квадрата или правильного шестиугольника.