Номер 215, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Правильные многоугольники и их свойства. Глава 2. Правильные многоугольники - номер 215, страница 56.

Условие.

215. Найдите площадь правильного восьмиугольника, если радиус описанной около него окружности равен $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Правильный восьмиугольник можно разделить на 8 одинаковых равнобедренных треугольников, вершины которых находятся в центре описанной окружности, а основаниями служат стороны восьмиугольника.

Две боковые стороны каждого такого треугольника равны радиусу описанной окружности $R$. Угол между этими сторонами (центральный угол) равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Площадь одного такого треугольника ($S_{\triangle}$) можно вычислить по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

В нашем случае $a = b = R$ и $\gamma = \alpha = 45^\circ$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2}R^2\sin(45^\circ)$

Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}R^2$

Площадь всего восьмиугольника ($S_8$) равна сумме площадей восьми таких треугольников:

$S_8 = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}R^2 = 2\sqrt{2}R^2$

Ответ: $2\sqrt{2}R^2$