Номер 212, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

212. Докажите, что сторона правильного восьмиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{2}}$, где $R$ – радиус его описанной окружности.

Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность с центром в точке O и радиусом $R$. Пусть A и B — две соседние вершины этого восьмиугольника. Соединив их с центром O, мы получим равнобедренный треугольник AOB. В этом треугольнике стороны OA и OB равны радиусу описанной окружности $R$, а сторона AB является стороной правильного восьмиугольника. Обозначим длину стороны AB как $a_8$.

Центральный угол, опирающийся на сторону правильного вписанного n-угольника, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Для восьмиугольника ($n=8$) этот угол составляет:

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Для нахождения длины стороны $a_8$ (стороны AB треугольника AOB) воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим в эту формулу известные нам величины: $OA = R$, $OB = R$ и $\angle AOB = 45^\circ$.

$a_8^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45^\circ)$

Упростим выражение:

$a_8^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(45^\circ)$

Вынесем общий множитель $2R^2$ за скобки:

$a_8^2 = 2R^2(1 - \cos(45^\circ))$

Мы знаем, что значение косинуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$a_8^2 = 2R^2 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$a_8^2 = 2R^2 \left(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}\right)$

$a_8^2 = R^2(2 - \sqrt{2})$

Чтобы найти длину стороны $a_8$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы берем положительное значение корня:

$a_8 = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{2})} = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Таким образом, мы доказали, что сторона правильного восьмиугольника равна $R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$, где $R$ — радиус его описанной окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.