Номер 219, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

219. Найдите диагонали правильного восьмиугольника, сторона которого равна $a$.

В правильном восьмиугольнике все стороны равны $a$ и все внутренние углы равны. Всего у правильного восьмиугольника есть три диагонали разной длины, которые можно условно назвать короткой, средней и длинной. Для их нахождения воспользуемся теоремой косинусов.

Внутренний угол правильного восьмиугольника равен $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$.

Короткая диагональ ($d_1$)

Короткая диагональ соединяет две вершины через одну (например, вершины $A_1$ и $A_3$). Она образует равнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$ со сторонами $A_1A_2 = A_2A_3 = a$ и углом между ними $\angle A_1A_2A_3 = 135^\circ$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(135^\circ)$

Так как $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$d_1^2 = 2a^2 - 2a^2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(2 + \sqrt{2})$

Извлекая квадратный корень, находим длину короткой диагонали:

$d_1 = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Ответ: $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$

Средняя диагональ ($d_2$)

Средняя диагональ соединяет две вершины через две (например, $A_1$ и $A_4$). Рассмотрим треугольник $A_1A_2A_4$. В нем сторона $A_1A_2 = a$, а сторона $A_2A_4$ равна по длине короткой диагонали $d_1$. Найдем угол $\angle A_1A_2A_4$.

Угол $\angle A_1A_2A_3 = 135^\circ$. В равнобедренном треугольнике $A_2A_3A_4$ ($A_2A_3=A_3A_4=a, \angle A_2A_3A_4 = 135^\circ$) углы при основании равны: $\angle A_3A_2A_4 = \frac{180^\circ - 135^\circ}{2} = 22.5^\circ$.

Тогда $\angle A_1A_2A_4 = \angle A_1A_2A_3 - \angle A_3A_2A_4 = 135^\circ - 22.5^\circ = 112.5^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $A_1A_2A_4$ для нахождения $d_2 = A_1A_4$:

$d_2^2 = (A_1A_2)^2 + (A_2A_4)^2 - 2(A_1A_2)(A_2A_4)\cos(112.5^\circ)$

$d_2^2 = a^2 + d_1^2 - 2ad_1\cos(112.5^\circ)$

Используем $d_1^2 = a^2(2+\sqrt{2})$ и $\cos(112.5^\circ) = -\sin(22.5^\circ) = -\sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}} = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

$d_2^2 = a^2 + a^2(2+\sqrt{2}) - 2a(a\sqrt{2+\sqrt{2}})\left(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)$

$d_2^2 = a^2(3+\sqrt{2}) + a^2\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = a^2(3+\sqrt{2}) + a^2\sqrt{4-2} = a^2(3+2\sqrt{2})$

Заметим, что $3+2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1+\sqrt{2})^2$. Тогда:

$d_2^2 = a^2(1+\sqrt{2})^2 \implies d_2 = a(1+\sqrt{2})$

Ответ: $a(1+\sqrt{2})$

Длинная диагональ ($d_3$)

Длинная диагональ соединяет противоположные вершины (например, $A_1$ и $A_5$). Вершины $A_1, A_3, A_5, A_7$ образуют квадрат, стороной которого является короткая диагональ $d_1$. Длинная диагональ восьмиугольника $d_3$ является диагональю этого квадрата.

По теореме Пифагора для квадрата со стороной $d_1$:

$d_3^2 = d_1^2 + d_1^2 = 2d_1^2$

Подставляем найденное ранее значение $d_1^2 = a^2(2+\sqrt{2})$:

$d_3^2 = 2 \cdot a^2(2+\sqrt{2}) = a^2(4+2\sqrt{2})$

Следовательно, длина длинной диагонали:

$d_3 = a\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

Ответ: $a\sqrt{4+2\sqrt{2}}$