Номер 226, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

226. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, – 13 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный тупоугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 24$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AC$.

Следовательно, длина отрезка $HC$ равна половине длины основания:$HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Центр $O$ описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Поскольку прямая $BH$ является серединным перпендикуляром к основанию $AC$, центр $O$ лежит на прямой $BH$. Радиус описанной окружности по условию равен $R=13$ см. Это означает, что расстояние от центра $O$ до каждой из вершин треугольника равно 13 см: $OA = OB = OC = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Его гипотенуза $OC$ является радиусом описанной окружности. По теореме Пифагора найдем расстояние $OH$ от центра окружности до основания $AC$:
$OH^2 + HC^2 = OC^2$
$OH^2 + 12^2 = 13^2$
$OH^2 + 144 = 169$
$OH^2 = 169 - 144 = 25$
$OH = \sqrt{25} = 5$ см.

По условию, треугольник $ABC$ является тупоугольным. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию (в нашем случае, угол $B$). Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника. Это означает, что центр $O$ и вершина $B$ лежат по разные стороны от основания $AC$.

Следовательно, точка $H$ (середина основания) находится между вершиной $B$ и центром описанной окружности $O$ на прямой $BH$. Расстояние от центра $O$ до вершины $B$ равно радиусу $OB = R = 13$ см. Это расстояние складывается из высоты треугольника $BH$ (обозначим ее $h$) и расстояния $OH$ от центра до основания:
$OB = BH + OH$
$R = h + OH$
$13 = h + 5$
$h = 13 - 5 = 8$ см.

Теперь, зная высоту треугольника, мы можем найти его площадь по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$
$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Ответ: $96$ см².