Номер 227, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

227. Через точку $A$ к окружности проведены две касательные. Расстояние от точки $A$ до точки касания равно 12 см, а расстояние между точками касания – 14,4 см. Найдите радиус окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, а $B$ и $C$ — точки касания. Тогда $AB$ и $AC$ — это отрезки касательных, проведенных из точки $A$ к окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны. По условию, это расстояние равно 12 см.

Дано:

• $AB = AC = 12$ см (расстояние от точки $A$ до точек касания).
• $BC = 14,4$ см (расстояние между точками касания).

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то есть $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Таким образом, $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ являются прямоугольными треугольниками.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $AB = AC$, он является равнобедренным. Отрезок $AO$, соединяющий точку $A$ с центром окружности $O$, является биссектрисой угла $\angle BAC$ и медианой и высотой к основанию $BC$. Пусть $H$ — точка пересечения $AO$ и $BC$. Тогда $AH$ — высота в $\triangle ABC$, и $H$ — середина отрезка $BC$.

Найдем длину отрезка $BH$:

$BH = \frac{BC}{2} = \frac{14,4}{2} = 7,2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $AH$:

$AH^2 = AB^2 - BH^2$

$AH^2 = 12^2 - 7,2^2 = 144 - 51,84 = 92,16$

$AH = \sqrt{92,16} = 9,6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABO$ (угол $\angle ABO = 90^\circ$). $BH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AO$ (так как $BH \perp AO$).

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. В нашем случае, $\triangle AHB$ и $\triangle BHO$ подобны. Из подобия следует соотношение:

$\frac{AH}{BH} = \frac{BH}{OH}$

Выразим отсюда $OH$:

$OH = \frac{BH^2}{AH} = \frac{7,2^2}{9,6} = \frac{51,84}{9,6} = 5,4$ см.

Теперь мы можем найти радиус окружности $r = OB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBH$ (угол $\angle OHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$OB^2 = BH^2 + OH^2$

$r^2 = 7,2^2 + 5,4^2 = 51,84 + 29,16 = 81$

$r = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.