Номер 7, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. По какой формуле вычисляют площадь кругового сектора?

Площадь кругового сектора — это площадь части круга, ограниченной дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Существует несколько основных формул для её вычисления, выбор которых зависит от известных данных.

Формула через центральный угол в градусах
Если известен радиус круга $r$ и центральный угол сектора $\alpha$, выраженный в градусах, то площадь сектора $S$ вычисляется как доля от площади всего круга (которая равна $\pi r^2$). Эта доля соответствует отношению угла сектора к полному углу окружности (360°).
$ S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} $
Здесь $\pi$ — математическая константа (приблизительно 3,14159), $r$ — радиус круга, а $\alpha$ — величина центрального угла в градусах.

Формула через центральный угол в радианах
Если центральный угол $\alpha$ задан в радианах, формула становится более компактной. Полный угол окружности в радианах равен $2\pi$.
$ S = \frac{1}{2} r^2 \alpha $
Здесь $r$ — радиус круга, а $\alpha$ — величина центрального угла в радианах.

Формула через длину дуги
Если известны длина дуги сектора $L$ и радиус круга $r$, площадь сектора можно найти по следующей формуле, которая по своей структуре напоминает формулу площади треугольника:
$ S = \frac{1}{2} Lr $
Здесь $L$ — длина дуги, ограничивающей сектор, а $r$ — радиус круга.

Ответ: Площадь кругового сектора вычисляется по одной из формул: $ S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} $, где $\alpha$ — центральный угол в градусах; $ S = \frac{1}{2} r^2 \alpha $, где $\alpha$ — центральный угол в радианах; или $ S = \frac{1}{2} Lr $, где $L$ — длина дуги сектора, а $r$ — радиус круга.