Страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое отношение обозначают буквой $\pi$?

Буквой π (пи) в математике обозначают отношение длины окружности к её диаметру. Это значение является математической константой, то есть оно одинаково для абсолютно любой окружности, независимо от её размера.

Если обозначить длину окружности буквой $C$, а её диаметр — буквой $d$, то это отношение можно выразить следующей формулой:

$\pi = \frac{C}{d}$

Из этой формулы, в свою очередь, выводятся основные формулы для вычисления длины окружности: $C = \pi d$ или $C = 2 \pi r$, где $r$ — это радиус окружности ($d = 2r$).

Число π является иррациональным, его невозможно представить в виде простой дроби, а его десятичное представление бесконечно и непериодично ($3,1415926535...$). Для практических вычислений часто используют его приближенные значения, например, 3,14 или $\frac{22}{7}$.

Ответ: Буквой π обозначают отношение длины окружности к её диаметру.

2. Назовите приближённое значение числа $\pi$ с точностью до сотых.

2. Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, представляющая собой иррациональное число. Его значение с несколькими знаками после запятой выглядит так: $\pi \approx 3,14159265...$
Чтобы найти приближённое значение числа $\pi$ с точностью до сотых, необходимо округлить его до второго знака после запятой.
Для этого нужно посмотреть на третий знак после запятой (цифру в разряде тысячных).
В числе $3,14159...$ цифрой в разряде сотых является 4, а цифрой в разряде тысячных — 1.
Согласно правилам математического округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, меньше 5 (то есть 0, 1, 2, 3 или 4), то цифра в округляемом разряде не меняется, а все последующие цифры отбрасываются.
Поскольку $1 < 5$, то цифру 4 в разряде сотых мы оставляем без изменений.
Таким образом, приближённое значение числа $\pi$ с точностью до сотых составляет 3,14.
Ответ: $3,14$

3. По какой формуле вычисляют длину окружности?

Длину окружности можно вычислить по одной из двух основных формул, в зависимости от того, какая величина известна: радиус или диаметр.

1. Формула длины окружности через радиус
Длина окружности ($C$) равна удвоенному произведению числа $\pi$ (пи) на её радиус ($r$).
$C = 2 \pi r$
где:
$C$ — длина окружности,
$r$ — радиус окружности (расстояние от центра окружности до любой точки на ней),
$\pi$ — математическая константа, приблизительно равная $3.14159$.

2. Формула длины окружности через диаметр
Длина окружности ($C$) равна произведению числа $\pi$ на её диаметр ($d$).
$C = \pi d$
где:
$C$ — длина окружности,
$d$ — диаметр окружности (отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр).

Эти две формулы эквивалентны, поскольку диаметр окружности всегда в два раза больше её радиуса ($d = 2r$). Если подставить $2r$ вместо $d$ во вторую формулу, мы получим первую:
$C = \pi d = \pi (2r) = 2 \pi r$

Ответ: Длину окружности вычисляют по формуле $C = 2 \pi r$ (если известен радиус) или по формуле $C = \pi d$ (если известен диаметр).

4. По какой формуле вычисляют длину дуги окружности?

Длину дуги окружности можно вычислить, зная радиус окружности и величину центрального угла, который опирается на эту дугу. Существуют две основные формулы в зависимости от того, в каких единицах измеряется угол — в градусах или радианах.

Вычисление через градусную меру центрального угла

Если центральный угол $\alpha$ измеряется в градусах, то длина дуги $L$ вычисляется как часть от длины всей окружности ($C = 2\pi R$). Полная окружность содержит 360 градусов, поэтому дуга с углом $\alpha$ составляет $\frac{\alpha}{360}$ от всей окружности. Формула имеет вид:
$L = \frac{2\pi R}{360^\circ} \cdot \alpha = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$
где $L$ — длина дуги окружности; $R$ — радиус окружности; $\pi$ — математическая константа, приблизительно равная 3,14159; $\alpha$ — величина центрального угла в градусах.

Ответ: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Вычисление через радианную меру центрального угла

Если центральный угол $\alpha$ измеряется в радианах, формула становится значительно проще. Эта форма записи является стандартной в высшей математике. По определению, угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Отсюда следует прямая зависимость:
$L = R \cdot \alpha$
где $L$ — длина дуги окружности; $R$ — радиус окружности; $\alpha$ — величина центрального угла в радианах.

Ответ: $L = R \cdot \alpha$

5. По какой формуле вычисляют площадь круга?

Площадь круга вычисляется по формуле, которая связывает площадь с радиусом круга. Основная формула выглядит так:

$S = \pi r^2$

В этой формуле приняты следующие обозначения:

• $S$ – это искомая площадь круга;
• $r$ – это радиус круга (расстояние от центра до любой точки на окружности);
• $\pi$ (читается как «пи») – это математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Её приближенное значение часто принимают равным $3,14$.

Таким образом, чтобы найти площадь круга, нужно возвести в квадрат его радиус и умножить полученное значение на число $\pi$.

Также существует формула для вычисления площади круга через его диаметр $d$. Поскольку диаметр равен двум радиусам ($d = 2r$), то радиус можно выразить как $r = \frac{d}{2}$. Подставив это в основную формулу, получим:

$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Ответ: Площадь круга вычисляют по формуле $S = \pi r^2$.

6. Объясните, какую геометрическую фигуру называют круговым сектором.

6. Круговым сектором называют часть круга, которая ограничена дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими концы этой дуги с центром круга.

Представим круг с центром в точке O. Если провести два радиуса, OA и OB, то они вместе с дугой AB, заключенной между точками A и B, вырежут из круга фигуру, которая и является круговым сектором.

Таким образом, круговой сектор определяется следующими элементами:
- Два радиуса (например, OA и OB), которые являются границами сектора.
- Дуга окружности (дуга AB), которая также ограничивает сектор.
- Центральный угол ($\angle AOB$), образованный двумя радиусами в центре круга. Величина этого угла, обозначаемого греческой буквой альфа ($\alpha$), определяет, какую долю от всего круга составляет сектор.

В зависимости от величины центрального угла сектор может быть, например:
- Полукругом, если центральный угол $\alpha = 180^\circ$.
- Четвертью круга, если центральный угол $\alpha = 90^\circ$.

Площадь кругового сектора ($S$) с радиусом $r$ и центральным углом $\alpha$ (выраженным в градусах) вычисляется по формуле:
$S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}$

Ответ: Круговой сектор — это геометрическая фигура, представляющая собой часть круга, ограниченную двумя его радиусами и дугой между ними.

7. По какой формуле вычисляют площадь кругового сектора?

Площадь кругового сектора — это площадь части круга, ограниченной дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Существует несколько основных формул для её вычисления, выбор которых зависит от известных данных.

Формула через центральный угол в градусах
Если известен радиус круга $r$ и центральный угол сектора $\alpha$, выраженный в градусах, то площадь сектора $S$ вычисляется как доля от площади всего круга (которая равна $\pi r^2$). Эта доля соответствует отношению угла сектора к полному углу окружности (360°).
$ S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} $
Здесь $\pi$ — математическая константа (приблизительно 3,14159), $r$ — радиус круга, а $\alpha$ — величина центрального угла в градусах.

Формула через центральный угол в радианах
Если центральный угол $\alpha$ задан в радианах, формула становится более компактной. Полный угол окружности в радианах равен $2\pi$.
$ S = \frac{1}{2} r^2 \alpha $
Здесь $r$ — радиус круга, а $\alpha$ — величина центрального угла в радианах.

Формула через длину дуги
Если известны длина дуги сектора $L$ и радиус круга $r$, площадь сектора можно найти по следующей формуле, которая по своей структуре напоминает формулу площади треугольника:
$ S = \frac{1}{2} Lr $
Здесь $L$ — длина дуги, ограничивающей сектор, а $r$ — радиус круга.

Ответ: Площадь кругового сектора вычисляется по одной из формул: $ S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} $, где $\alpha$ — центральный угол в градусах; $ S = \frac{1}{2} r^2 \alpha $, где $\alpha$ — центральный угол в радианах; или $ S = \frac{1}{2} Lr $, где $L$ — длина дуги сектора, а $r$ — радиус круга.

8. Объясните, какую геометрическую фигуру называют круговым сегментом.

Круговой сегмент — это часть круга, которая отсекается от него некоторой хордой. Хорда, соединяющая две точки на окружности, делит круг на две части, каждая из которых является круговым сегментом.

Таким образом, можно дать следующее определение: круговой сегмент — это плоская фигура, ограниченная дугой окружности и стягивающей её хордой.

В зависимости от длины дуги, различают два вида сегментов:

• Малый сегмент: часть круга, ограниченная хордой и меньшей из двух дуг, на которые хорда делит окружность.
• Большой сегмент: часть круга, ограниченная хордой и большей из двух дуг.

В частном случае, когда хорда является диаметром круга, она делит круг на два равных сегмента, которые называются полукругами.

Площадь кругового сегмента можно найти, вычтя из площади соответствующего кругового сектора площадь треугольника, образованного радиусами и хордой. Если $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол, соответствующий дуге сегмента (в радианах), то площадь сегмента вычисляется по формуле:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)$

Ответ: Круговым сегментом называют часть круга, ограниченную дугой и стягивающей её хордой.

9. Объясните, как можно найти площадь кругового сегмента.

Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги. Площадь кругового сегмента находится путем вычисления разности между площадью кругового сектора и площадью треугольника, образованного радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой.

Алгоритм нахождения площади меньшего сегмента (угол меньше 180°)

Для нахождения площади сегмента необходимы два параметра: радиус круга $R$ и центральный угол $\alpha$, который опирается на дугу этого сегмента.

1. Вычисляем площадь кругового сектора.
Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. Если центральный угол $\alpha$ измеряется в градусах, его площадь ($S_{сектора}$) вычисляется по формуле:
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$

2. Вычисляем площадь треугольника.
Этот треугольник образован двумя радиусами ($R$) и хордой. Он является равнобедренным, и его площадь ($S_{\triangle}$) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha)$

3. Находим разность площадей.
Площадь меньшего кругового сегмента ($S_{сегмента}$) равна разности площади сектора и площади треугольника:
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Объединив шаги, получаем общую формулу для площади меньшего сегмента:
$S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha) = R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{360} - \frac{\sin(\alpha)}{2} \right)$

Нахождение площади большего сегмента (угол больше 180°)

Площадь большего сегмента можно найти двумя способами:
1. Найти площадь меньшего сегмента с тем же хордой и вычесть её из общей площади круга: $S_{большего} = \pi R^2 - S_{меньшего}$.
2. Использовать тот же принцип, что и для меньшего, но в качестве площади сектора взять площадь сектора с центральным углом $\beta = 360^\circ - \alpha$ и прибавить к ней площадь треугольника: $S_{большего} = S_{сектора(\beta)} + S_{\triangle}$.

Если угол $\alpha$ измеряется в радианах

Формулы становятся проще. Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2\alpha$.
Итоговая формула для площади меньшего сегмента:
$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin(\alpha))$

Ответ: Площадь кругового сегмента можно найти, если из площади соответствующего кругового сектора вычесть площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой сегмента. Для этого нужно знать радиус круга и центральный угол, опирающийся на дугу сегмента.

228. Найдите длину окружности, диаметр которой равен:

1) 1,2 см;

2) 3,5 см.

Для нахождения длины окружности $C$ используется формула, связывающая её с диаметром $d$:

$C = \pi d$

где $\pi$ — это математическая константа, которую для расчетов мы примем равной $3,14$.

1)

Дан диаметр окружности $d = 1,2$ см.

Подставим это значение в формулу длины окружности:

$C = \pi \times 1,2 = 1,2\pi$ см.

Теперь вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$C \approx 1,2 \times 3,14 = 3,768$ см.

Ответ: $1,2\pi$ см (приблизительно $3,768$ см).

2)

Дан диаметр окружности $d = 3,5$ см.

Подставим это значение в формулу длины окружности:

$C = \pi \times 3,5 = 3,5\pi$ см.

Теперь вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$C \approx 3,5 \times 3,14 = 10,99$ см.

Ответ: $3,5\pi$ см (приблизительно $10,99$ см).

229. Найдите длину окружности, радиус которой равен:

1) 6 см;

2) 1,4 м.

Для нахождения длины окружности $C$ используется формула $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности. В расчетах будем использовать приближенное значение константы $\pi \approx 3,14$.

1)

Дан радиус окружности $r = 6$ см.

Подставим значение радиуса в формулу и произведем вычисление:

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3,14 \cdot 6 = 12 \cdot 3,14 = 37,68$ см.

Ответ: 37,68 см.

2)

Дан радиус окружности $r = 1,4$ м.

Подставим значение радиуса в формулу и произведем вычисление:

$C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot 3,14 \cdot 1,4 = 2,8 \cdot 3,14 = 8,792$ м.

Ответ: 8,792 м.

230. Найдите площадь круга, радиус которого равен:

1) $4 \text{ см}$;

2) $14 \text{ дм}$.

Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус круга.

При радиусе $r = 4$ см, площадь круга равна:

$S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ см}^2$.

Если использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$, то площадь составит:

$S \approx 16 \cdot 3,14 = 50,24 \text{ см}^2$.

Ответ: $16\pi \text{ см}^2$.

При радиусе $r = 14$ дм, площадь круга равна:

$S = \pi \cdot 14^2 = 196\pi \text{ дм}^2$.

Если использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$, то площадь составит:

$S \approx 196 \cdot 3,14 = 615,44 \text{ дм}^2$.

Ответ: $196\pi \text{ дм}^2$.

231. Найдите площадь круга, диаметр которого равен:

1) 20 см;

2) 3,2 дм.

Для того чтобы найти площадь круга, зная его диаметр, можно воспользоваться одной из двух формул:

1. Формула площади круга через радиус: $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус. Радиус равен половине диаметра ($d$): $r = d/2$.
2. Формула площади круга через диаметр, которая выводится из первой: $S = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Решим задачу для каждого случая.

1)

Диаметр круга $d = 20$ см.
Найдем радиус круга: $r = d/2 = 20 / 2 = 10$ см.
Теперь вычислим площадь по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².
Ответ: $100\pi$ см².

2)

Диаметр круга $d = 3,2$ дм.
Найдем радиус круга: $r = d/2 = 3,2 / 2 = 1,6$ дм.
Теперь вычислим площадь по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot (1,6)^2 = 2,56\pi$ дм².
Ответ: $2,56\pi$ дм².

232. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна $l$.

Для решения задачи нам понадобятся две основные формулы, связанные с кругом: формула длины окружности и формула площади круга.

Пусть $r$ — радиус круга.

1. Длина окружности ($l$) вычисляется по формуле: $l = 2 \pi r$

2. Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле: $S = \pi r^2$

По условию задачи, нам дана длина окружности $l$. Нам нужно найти площадь круга $S$. Для этого мы сначала выразим радиус $r$ из формулы длины окружности, а затем подставим это выражение в формулу площади.

Из формулы длины окружности $l = 2 \pi r$ выразим радиус $r$:

$r = \frac{l}{2 \pi}$

Теперь подставим это выражение для $r$ в формулу площади круга $S = \pi r^2$:

$S = \pi \left(\frac{l}{2 \pi}\right)^2$

Возведем дробь в квадрат:

$S = \pi \cdot \frac{l^2}{(2\pi)^2} = \pi \cdot \frac{l^2}{4\pi^2}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:

$S = \frac{l^2}{4\pi}$

Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади круга через известную длину его окружности.

Ответ: $S = \frac{l^2}{4\pi}$

233. Вычислите площадь поперечного сечения дерева, которое в обхвате составляет 125,6 см.

Для вычисления площади поперечного сечения дерева предположим, что оно имеет форму круга. В этом случае обхват дерева является длиной окружности этого круга.

Исходные данные:
Длина окружности (обхват) $C = 125,6$ см.

Формулы, которые мы будем использовать:
1. Длина окружности: $C = 2\pi r$, где $r$ – радиус окружности.
2. Площадь круга: $S = \pi r^2$.

Шаг 1: Нахождение радиуса поперечного сечения

Сначала найдем радиус $r$ из формулы длины окружности. Для этого выразим $r$ из формулы $C = 2\pi r$:
$r = \frac{C}{2\pi}$

Подставим известные значения, используя приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$:
$r = \frac{125,6 \text{ см}}{2 \times 3,14} = \frac{125,6 \text{ см}}{6,28} = 20 \text{ см}$.

Шаг 2: Вычисление площади поперечного сечения

Теперь, зная радиус, мы можем вычислить площадь $S$ круга по формуле $S = \pi r^2$:
$S \approx 3,14 \times (20 \text{ см})^2 = 3,14 \times 400 \text{ см}^2 = 1256 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь поперечного сечения дерева составляет 1256 квадратных сантиметров.

Ответ: 1256 см².

234. Как изменится длина окружности, если её радиус:

1) увеличить в 2 раза;

2) уменьшить в 3 раза?

Длина окружности $C$ и её радиус $R$ связаны формулой $C = 2\pi R$. Эта формула показывает, что длина окружности находится в прямой пропорциональной зависимости от её радиуса. Таким образом, во сколько раз изменяется радиус, во столько же раз изменяется и длина окружности.

1) увеличить в 2 раза;
Пусть первоначальный радиус был $R_1$, а длина окружности $C_1 = 2\pi R_1$.
После увеличения радиуса в 2 раза новый радиус стал $R_2 = 2R_1$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна:
$C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi (2R_1) = 2 \cdot (2\pi R_1) = 2C_1$.
Таким образом, если радиус увеличить в 2 раза, то и длина окружности увеличится в 2 раза.
Ответ: увеличится в 2 раза.

2) уменьшить в 3 раза?
Пусть первоначальный радиус был $R_1$, а длина окружности $C_1 = 2\pi R_1$.
После уменьшения радиуса в 3 раза новый радиус стал $R_2 = \frac{R_1}{3}$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна:
$C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi \left(\frac{R_1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot (2\pi R_1) = \frac{C_1}{3}$.
Таким образом, если радиус уменьшить в 3 раза, то и длина окружности уменьшится в 3 раза.
Ответ: уменьшится в 3 раза.

235. Длина земного экватора приближённо равна 40 000 000 м. Считая, что Земля имеет форму шара, найдите её радиус в километрах.

Для решения задачи воспользуемся формулой длины окружности, так как экватор представляет собой окружность, опоясывающую Землю в самом широком месте. Формула длины окружности $C$ через её радиус $R$ выглядит следующим образом:

$C = 2 \pi R$

Из этой формулы можно выразить радиус $R$:

$R = \frac{C}{2 \pi}$

В условии задачи дана длина экватора в метрах: $C = 40 \, 000 \, 000$ м. Поскольку радиус необходимо найти в километрах, сначала переведём длину экватора в километры. В одном километре 1000 метров:

$C = \frac{40 \, 000 \, 000 \text{ м}}{1000} = 40 \, 000 \text{ км}$

Теперь подставим значение длины экватора в километрах в формулу для радиуса и произведём расчёт. Используем значение числа $\pi \approx 3.14159$:

$R = \frac{40 \, 000}{2 \pi} = \frac{20 \, 000}{\pi} \approx \frac{20 \, 000}{3.14159} \approx 6366.197... \text{ км}$

Округлим полученное значение до целого числа, так как исходные данные являются приблизительными.

$R \approx 6366 \text{ км}$

Ответ: радиус Земли приблизительно равен 6366 км.