Номер 9, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Объясните, как можно найти площадь кругового сегмента.

Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги. Площадь кругового сегмента находится путем вычисления разности между площадью кругового сектора и площадью треугольника, образованного радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой.

Алгоритм нахождения площади меньшего сегмента (угол меньше 180°)

Для нахождения площади сегмента необходимы два параметра: радиус круга $R$ и центральный угол $\alpha$, который опирается на дугу этого сегмента.

1. Вычисляем площадь кругового сектора.
Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. Если центральный угол $\alpha$ измеряется в градусах, его площадь ($S_{сектора}$) вычисляется по формуле:
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$

2. Вычисляем площадь треугольника.
Этот треугольник образован двумя радиусами ($R$) и хордой. Он является равнобедренным, и его площадь ($S_{\triangle}$) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha)$

3. Находим разность площадей.
Площадь меньшего кругового сегмента ($S_{сегмента}$) равна разности площади сектора и площади треугольника:
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Объединив шаги, получаем общую формулу для площади меньшего сегмента:
$S_{сегмента} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha) = R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{360} - \frac{\sin(\alpha)}{2} \right)$

Нахождение площади большего сегмента (угол больше 180°)

Площадь большего сегмента можно найти двумя способами:
1. Найти площадь меньшего сегмента с тем же хордой и вычесть её из общей площади круга: $S_{большего} = \pi R^2 - S_{меньшего}$.
2. Использовать тот же принцип, что и для меньшего, но в качестве площади сектора взять площадь сектора с центральным углом $\beta = 360^\circ - \alpha$ и прибавить к ней площадь треугольника: $S_{большего} = S_{сектора(\beta)} + S_{\triangle}$.

Если угол $\alpha$ измеряется в радианах

Формулы становятся проще. Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2\alpha$.
Итоговая формула для площади меньшего сегмента:
$S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin(\alpha))$

Ответ: Площадь кругового сегмента можно найти, если из площади соответствующего кругового сектора вычесть площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой сегмента. Для этого нужно знать радиус круга и центральный угол, опирающийся на дугу сегмента.